如果您准备在 fortran 代码中进行挖掘：

SVD算法由几个部分组成：

1. 双对角化（通常使用 Householder 反射器）
2. 使用 QR 移位将双对角线减少为对角线（通常使用 Givens 旋转）
3. 更改任何负对角线元素的符号并对奇异值重新排序，使其递减。

符号说明，我将 SVD 写为。$A = USV^T$

反射器通常具有行列式 -1，因此应用一个将改变行列式的符号。一个小细节，LAPACK 有时会“作弊”并使用微不足道的旋转而不是反射器，这是如果特定列已经减少了。要在第一步之后计算行列式，只需计算和的非平凡反射器的数量。如果有个非平凡反射器，则行列式是。$U$$V$$k$$(-1)^k$

旋转具有行列式 1，因此应用一个不会改变行列式的符号。因此，我们不需要考虑步骤 2 中的计算。

中的对应列乘以-1这也再次行列式的符号。因此，与反射器类似，我们需要计算符号变化的数量才能使行列式达到这一点。$V$$-1$$V$

要重新排序奇异值，我们还需要重新排序和，每次交换都会改变行列式的符号。同样，我们计算掉期的数量。$U$$V$

我可能错过了一些细节，我对特征值求解器比专门的 svd 程序更熟悉。

第 1 部分：据我所知，答案是否定的。

对于第 2 部分：这个问题有几个很好的答案，所有答案都是否定的（实际上没有更快的方法）。我不相信有关于这个话题的有意义的新文献。