您还应该阅读制造解决方案方法 (PDF)，它将向您展示如何为您的问题生成分析解决方案。

当没有用于比较的解析解时，无法完全验证数值解，但仍有几种方法可以让您对“正确性”充满信心。

在您的问题中，“数值解收敛”的含义并不完全清楚。从数字代码在有限时间内产生有限答案的意义上说，“收敛”当然是正确性所必需的。更强烈的是，通常会进行网格细化研究，以表明解会随着离散化变得更精细而收敛。

如果您的 PDE 系统是，那么误差是，其中是网格大小的离散解，而是精确解。您可能希望收敛是单调的（即细化网格不会增加误差），并且可能还显示一致的收敛顺序（例如）。$F(x)=0$$\Delta x=x_h-x_*$$x_h$$h$$x_*$$|\Delta x|=O[h^{-p}]$

在您的情况下，您可以为“确切”解决方案选择一些代理。例如，这可能是一个非常精细的网格上的解决方案，或者来自另一个代码的解决方案，例如来自文献的解决方案。（对于验证，而不是验证，您将使用 PDE 正在建模的自然/实验/工程系统的观察结果。）然后您可以在网格细化收敛分析中使用此代理。

除了解决方案错误，您还可以查看解决方案残差，即. 在这种情况下，您应该对残差进行归一化，这样它就不会随着网格细化而固有地增长。例如，残差可以在固定域大小上进行平均或积分（概念上，，其中）。$|F_h(x_h)|$$\int_\Omega F d\Omega = \bar{F}|\Omega|$$h=|\Omega|/N$

我也建议进行代码验证。也就是说，使用相同的代码解决一些确实有解析解的问题，并验证这些问题是否正确。（在这里，您可以制造通过设计具有分析解决方案的测试用例；请参阅 Bill Barth 的回答。）