您还可以重写表达式以完全避免平方根。重新排序，使不等式为 这等价于 依次等价到 不涉及平方根$a,b$$a>b>0$

$$\sqrt{a}-\sqrt{b}<\tau.$$ $$a < \tau^2 + 2\tau\sqrt{b} + b \qquad\Leftrightarrow\qquad 2\tau\sqrt{b} > a-\tau^2-b,$$ $$\Big( a < \tau^2+b \quad\text{or}\quad 4\tau^2b>(a-\tau^2-b)^2 \Big)$$

一般来说，函数将是其中最慢的部分。幸运的是，如果它们的长度相同，那么它们的长度的平方也相同。因此，您可以省略该部分并比较范数的平方。$\mathtt{sqrt}$

我不知道有什么方法可以使用跨平台代码让它变得更快。

但是，如果您真的想让它快速运行，您可以随时查看您正在运行的处理器，并确定它是否支持向量指令（即 SSE 或 AVX）并使用这些内在函数。https://software.intel.com/sites/landingpage/IntrinsicsGuide/

通过这样做，您可以利用计算中的指令级并行性并实现巨大的加速，尽管以您的时间为代价。但是，您的编译器可能已经为您执行此操作，特别是如果您使用 (for gcc) -march=native 进行编译。在花时间自己对代码进行矢量化之前，您应该检查编译器产生的程序集。

我想为这个问题提交一个单独的答案，因为有一种方法可以自动简化这些公式以去除平方根。我将使用 sage 和QEPCAD（都是免费的）。教程在这里。

不等式 等价于存在使得 这些是量化的多项式不等式，可以使用 QEPCAD 在 sage 中使用以下简单会话进行简化：

$$|\sqrt{a}-\sqrt{b}|<t$$ $u, v$ $$\exists u,v: \qquad (u-v)^2 < t^2, \quad u^2 = a, \quad\text{and}\quad v^2 = b.$$

var('a,b,u,v,t')
qepcad(qf.E([u,v], qf.and_((u-v)^2 < t^2, u^2 == a, v^2 == b)))

输出给出了原始不等式成立的等价条件：

a >= 0 /\ b >= 0 /\ [ t^4 - 2 b t^2 - 2 a t^2 + b^2 - 2 a b + a^2 < 0 \/ t^2 - b - a > 0 ]

换句话说，它等价于

$$(t^4 - 2 b t^2 - 2 a t^2 + b^2 - 2 a b + a^2 < 0) \lor (t^2 - b - a > 0).$$

这种方法的好处是它没有人为错误。

不要对差异设置阈值，而是在比率上设置阈值：

$$\frac{ \lVert \mathbf{b}_2-\mathbf{b}_1 \rVert}{ \lVert \mathbf{a}_2-\mathbf{a}_1 \rVert}< \tau$$ 然后您可以将其简化为： $$r =\frac{ \lVert \mathbf{b}_2-\mathbf{b}_1 \rVert^2}{ \lVert \mathbf{a}_2-\mathbf{a}_1 \rVert^2}< \tau^2$$

并摆脱平方根。取决于所选顺序这一事实感到不安，那么您可以考虑使用简短的 if 语句。$r$