您可以使用误差外推的思想来构建高阶龙格库塔方法。

根据您插值的函数，插值误差（其中是实际积分值，是通过分段梯形规则获得的值）可能具有平滑渐近扩展$I - I_h$$I$$I_h$

$$I - I_h = C_p h^p + C_{p+1}h^{p+1} + ...$$

在 ODE 上下文中，平滑意味着常数、、 ... 是时间的平滑函数。我不知道这如何转化为集成，但让我们假设它们独立于。$C_p$$C_{p+1}$$h$

然后，如果您有足够的样本并且它们间隔均匀，则可以假设和更高阶项可以忽略不计，并且您也可以计算 I_h 的近似值h。$h^{p+1}$$I_h$$h\leftarrow h/2$

然后你设置系统

$$\begin{align} I - I_h = C_p h^p \\ I - I_{h/2} = C_p \frac{h^p}{2^p}, \end{align}$$

你可以解决和的问题，这会给你错误直到我们之前所做的所有假设。$C_p$$I$$I-I_{h}$

编辑：在以前的版本中，我假设分段梯形规则与阶收敛。实际上，它的顺序是。无论如何，我已经记下了任意收敛阶的公式。$3$$2$$p$

这种方法有一个图形版本（Richardson 外推法），可以非常有见地。使用至少三个值，不一定因两个因素或任何其他简单关系而有所不同。绘制与的关系图，其中是假定的精度顺序。如果您的数据非常平滑且间距非常小，以至于渐近误差估计有效（因此高阶项确实可以忽略不计），那么结果将是一条直线。通过您的最佳线的处的截距点将是对确切结果的改进估计。如果你没有得到一条直线，那么你确定$h$$I_h$$h^p$$p$$h=0$$p$; 你应该尝试不同的值吗？你的间距够小吗？如果数据是实验性的，它们是否足够准确？

数据均匀分布不是必需的，但精炼的数据在某种意义上必须是系统的精炼。如果粗略的数据点是按照某种规则分布的，比如几何级数，那么更精细的数据点应该按照相同的规则分布。