我编写了自己的积分器，quadcc它比具有奇异点的 Matlab 积分器处理得更好，并提供了更可靠的误差估计。

要将它用于您的问题，我执行了以下操作：

>> lambda = 0.00313; kappa = 0.00825; nu = 0.33;
>> x = 10;
>> E = @(r) r.^4.*(lambda*sqrt(kappa^2 + r.^2)).^(-nu-5/2) .* besselk(-nu-5/2,lambda*sqrt(kappa^2 + r.^2));
>> sincp = @(x) cos(x)./x - sin(x)./x.^2;
>> f = @(r) sincp(x*r) .* r .* sqrt( E(r) );

该函数f现在是您的被积函数。请注意，我刚刚将任何旧值分配给x.

为了在无限域上积分，我应用了变量替换：

>> g = @(x) f ( tan ( pi / 2 * x ) ) .* ( 1 + tan ( pi * x / 2 ).^2 ) * pi / 2;

即g从0到1积分应该和f从0到积分一样$\infty$. 不同的变换可能会产生不同的质量结果：数学上所有变换都应该给出相同的结果，但不同的变换可能会产生更平滑或更容易积分g的 s。

然后我调用我自己的积分器quadcc，它可以处理NaN两端的 s：

>> [ int , err , npoints ] = quadcc( g , 0 , 1 , 1e-6 )
int =
  -1.9552e+06
err =
   1.6933e+07
npoints =
       20761

请注意，误差估计很大，即quadcc对结果没有太大信心。不过，看看这个函数，这并不奇怪，因为它的振荡值比实际积分高三个数量级。同样，使用不同的间隔变换可能会产生更好的结果。

您可能还想查看更具体的方法，例如this。它涉及更多，但绝对是解决此类问题的正确方法。

正如 Pedro 所指出的，Levin 类型的方法是解决这类问题的最佳方法。

您可以访问 Mathematica 吗？对于这个问题，Mathematica 默认会检测并使用它们：

In[1]:= e[r_] := 
 r^4 (l Sqrt[k^2 + r^2])^(-v - 5/2) BesselK[-v - 5/2, l Sqrt[k^2 + r^2]]

In[2]:= {l, k, v} = {0.00313, 0.00825, 0.33};

In[3]:= Block[{x = 10}, 
 NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
  PrecisionGoal -> 3]]

Out[3]= -112494.

下面是 x 值范围内的图：

In[4]:= ListLinePlot[
 Table[NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
   PrecisionGoal -> 3], {x, .5, 10, 0.1}]]

您还可以手动指定要应用的特定 Levin 类型的方法，在这种情况下可以产生轻微的性能改进：

In[5]:= method = {"LevinRule", "Kernel" -> {Cos[r x], Sin[r x]}, 
   "DifferentialMatrix" -> {{0, -x}, {x, 0}}, 
   "Amplitude" -> {(
     3497.878840962873` Sqrt[(
      r^4 BesselK[-2.17`, 
        0.00313` Sqrt[
         0.00006806250000000001` + r^2]])/(0.00006806250000000001` + 
        r^2)^1.415`])/
     x, -((3497.878840962873` Sqrt[(
       r^4 BesselK[-2.17`, 
         0.00313` Sqrt[
          0.00006806250000000001` + r^2]])/(0.00006806250000000001` + 
         r^2)^1.415`])/(r x^2))}, "AdditiveTerm" -> 0};

In[6]:= Block[{x = 10}, 
 NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
  PrecisionGoal -> 3, Method -> method]]

Out[6]= -112495.

有关Mathematica 中 Levin 类型方法的详细信息，请参阅文档。

如果您无法访问 Mathematica，您可以按照 Pedro 的建议在 Matlab 中编写 Levin 类型（或其他专门的振荡）方法。

你使用 Matlab 的chebfun库吗？我刚刚了解到它在这里包含一个基本的 Levin 类型方法的实现。该实现由 Olver（振荡正交领域的专家之一）编写。它不处理奇点、自适应细分等，但它可能正是您开始所需要的。

Pedro 推荐的转换是一个好主意。您是否尝试过使用 Matlab 的“quadgk”函数中的参数？例如，使用 Pedro 的变换，您可以执行以下操作：
quadgk(f, 0.0+eps, 1.0-eps, 'AbsTol', eps, 'MaxIntervalCount', 100000)
使用这个给我一个解：
-2184689.50220729
并且只需要 0.8 秒（使用上面提到的值：x=10）
Walter Gander 和 Walter Gautschi 有一篇关于使用 Matlab 进行自适应求积的论文您也可以使用代码（链接在这里）