我建议您对函数进行采样并为样本拟合一个有理函数。您可以在有理函数的极点中找到，在实零点中找到根。$a$

有许多很好的方法可以找到有理函数拟合，并且只需少量样本，它们就可以为此类函数提供极其准确的近似值。

您可以使用的一些软件包是：矢量拟合：https ://www.sintef.no/projectweb/vectorfitting/

Rational-Krylov 拟合： http: //guettel.com/rktoolbox/examples/html/example_frequency.html

Chebfun中的AAA功能：http: //www.chebfun.org

这是数值分析中的标准问题。如果您无法计算函数的导数，标准方法是使用“二分搜索”，或者，如果您想花哨的话，可以使用黄金比例或 Bent 方法对其进行改进。见https://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method和https://en.wikipedia.org/wiki/Brent%27s_method

如果您可以计算函数的导数，那么您需要使用牛顿法。

每本关于数值方法或数值分析的教科书都会讨论这些方法。事实上，有一篇关于这个主题的完整维基百科文章：https ://en.wikipedia.org/wiki/Root-finding_algorithms

据我了解，你的功能（称之为$f(x)$) 只有一个简单的极点$x=a$并且可能超过一个零，并且$a$不知道，除了它在$[0,2\pi]$. 另外，你不知道$f(x)$以分析形式，这意味着您无法通过分析来区分它。鉴于这一切，我建议如下：

1. 决定$a$通过对方程应用根查找器$1/f(x)=0$. （我认为重要的是$a$准确地确定，因为它的准确度会影响零点的准确度$f(x)$.)
2. 确定后$a$, 应用根查找器$f(x)=0$（或更好，$(x-a)f(x)=0$(?)) 找到零$f(x)$.

当然，您只能使用不涉及导数的根查找器$f(x)$. 在这种情况下，我会建议generalized secant method'' that I developed for finding simple roots that has order close to 2 (hence efficiency index close to 2 as well) and is easy to apply. You can find it in Wikipedia under the title Sidi 的广义割线法。'' 原论文可以从 http://www.math.nthu.edu.tw/~amen/2008/070227-1.pdf下载 我希望这个帮助您解决问题。