潜在的问题是网格实际上不是几何体。你想模拟一座桥？它具有一定的几何形状，您可以使用网格进行近似，但网格不是精确的几何形状。大多数其他弯曲物体也是如此。

当然有一些方法可以将几何图形集成到有限元网格中。特别是，我想向您指出这个预印本。主要障碍是历史性的：传统的工作流程是使用 CAD 软件描述精确的几何图形；该 CAD 几何图形被馈送到创建网格的网格生成器；然后将网格提供给有限元（“分析”）软件，但它不再可以访问 CAD 几何。链接到的预印本详细描述了将 CAD 几何图形一直路由到分析引擎需要做什么，以及为什么这样做很有用。

“所以我想知道为什么我们不能在科学计算中使用网格来表示像CG这样的几何体。几何体直接用网格表示，然后你可以直接在上面进行计算。” ...

这正是我们在 FEM 中使用等参数元素所做的；我们使用相同的网格离散几何和场变量。等参元素的概念不限于拉格朗日族元素或 NURBS。理论上，可以使用任何适当的多项式空间来离散几何和场变量，例如细分曲面、T-Splines、Box-Splines、Chebyshev 多项式等。

在 FVM 中，几何变量和场变量也使用相同的网格。但是等参数表示的概念不适用于 FVM，尤其是对于以细胞为中心的 FVM 方法。如果我错了，请纠正我。

乍一看，IGA 听起来很有希望。与传统的 FEM 相比，它当然有它的优势。IGA 已经在 LS-DYNA 中可用。但是，我认为在实际应用中，IGA 目前的劣势超过了它的优势。还有其他非技术性的问题，见第 5 点。

1.) IGA 并非不受空间离散化的影响。仍然必须离散几何体（如果这有意义的话，将其与“网格”一词区分开来）。就 IGA 而言，需要为 NURBS 生成一个新的节点空间。CAD 软件中尚不提供此类功能。它主要是手动执行或在学术研究小组中使用自定义脚本执行。

2.) IGA 植根于跨元素边界的更高连续性的想法。虽然在有限元法中较高的连续性对于某些特定问题是有利的，特别是对于具有平滑解的问题，但这一点对于场变量不连续的问题并不是那么有利。此外，更高的连续性仅限于没有尖角的单个贴片。

此外，元素间的不连续性是以细胞为中心的 FVM 所固有的。因此，我认为直接将 IGA 用于 FVM 是没有意义的。（我在 FVM 方面没有太多经验来进一步详细说明）。

3.) 与传统 FEM 相比，IGA 成本高。更高的连续性意味着（有效）刚度矩阵中有更多的非零条目。虽然我们确实可以使用具有高阶元素的粗网格获得准确的结果，但在实际应用中使用高于二次多项式的效果并不明显。根据我的经验，在考虑准确性和效率（运行时）时，二次多项式是最佳选择。

4.) 将 IGA 扩展到固体力学中的高级问题也很困难，例如塑性和不可压缩超弹性，这需要复杂的公式。

• 基于投影的方法，例如 F-bar（或有人称之为 B-bar）公式，需要对块状质量矩阵进行反转。-> 昂贵。
• Taylor-Hood 类型单元（压力场的多项式比位移（或速度）场的多项式低一阶）不是 inf-sup 稳定的。需要使用细分稳定来确保 inf-sup 稳定性。（类似于 Q1-iso-Q1 元素）。这有实际的局限性。

如果我们在使用 IGA 时不必求助于复杂的配方，那就太棒了。但是，不幸的是，我们仍然必须使用那些先进的配方。

5.) 基于使用传统 FEM 和 FVM 的软件工具，业界的设计和分析工作流程已经很成熟。除非我们向他们展示一些快速的回报或显着的节省，否则很难说服行业改变他们的工作流程以使用新的模拟范例。

可以肯定地说，IGA 还不够成熟，无法取代传统的 FEM。很难说什么时候会。但是可以结合 IGA 和传统 FEM 的概念和工具来改进现有方案，参见论文1和论文 2。

是的，您可以使用相同的网格来表示域的几何形状并求解 PDE，这是您可以做到的。例如，一个正方形可以完全由两个三角形描述，您可以使用此网格来求解您的 PDE。如果您的 PDE 的解是恒定的或线性的，则此网格就足够了，但如果您的解中有更高的梯度，则需要更多的元素。

通常，会考虑一系列网格，并且有一个足够精细的网格（适用于您的应用程序），它会在您所需的容差下给您一个错误。例如，求解

为了$(x, y) \in [0, \pi]^2$需要一个正方形的网格。然而，仅使用两个元素不会为您提供接近分析结果的解决方案$u = \sin(4x) \cos(8y)$.