计算科学 - 具有实特征系统的非对称矩阵的更快特征向量例程？ - 吾爱随笔录

具有实特征系统的非对称矩阵的更快特征向量例程？

计算科学特征值拉帕克

2021-12-12 17:37:32

我有带有实值特征系统的非对称实值矩阵。如何有效地计算特征向量？

使用scipy.linalg.eig(which calls dgeev) 比 (=> ) 慢 3-4 倍，比scipy.linalg.eigh(=> )dsyevd慢 2倍，但 SVD 和 Hermitian 特征值分解在这里都不合适。我猜想支持复杂值存储的需要是造成额外开销的原因。对于具有实值特征值分解的矩阵，是否有更快的例程？scipy.linalg.svdgesdd

1个回答

诀窍是试图找出为什么该矩阵首先具有真正的特征值。通常是因为一组合适的共轭把它变成一个对称矩阵，然后你可以减少到一个对称计算。

乘除以可以改写所以你的计算相当于求特征值 of然后计算。显然的特征值等于的特征值。如果是 Cholesky 分解，则它们等于的特征值，这是对称的。答对了。 $(AC)^{-1}$

D_{1} = C^{- 1} B A C (C^{- 1} B A C + I)^{- 1},

$D_1 = C^{-1}BAC (C^{-1}BAC+I)^{-1},$

μ_{i}

$\mu_i$

M = C^{- 1} B A C

$M = C^{-1}BAC$

λ_{i} = \frac{μ_{i}}{μ_{i} + 1}

$\lambda_i = \frac{\mu_i}{\mu_i + 1}$

M

$M$

B A

$BA$

A = L L^{T}

$A=LL^T$

L^{T} B L

$L^TBL$

对于特征向量，相同的计算表明如果是的特征向量，则是的特征向量，因此也是的特征向量。 $v$ $L^TBL$ $(L^TC)^{-1}v$ $M$ $D_1$

编辑：哎呀，最后一部分确实需要倒数。

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