计算科学 - 当 Inverse 不可能时计算哪个伪逆？（没有线性求解） - 吾爱随笔录 - 问答

当 Inverse 不可能时计算哪个伪逆？（没有线性求解）

计算科学线性代数逆

2021-11-30 17:50:29

让我们假设我们有一个函数，它依赖于。但是，由于某些机器精度限制，我使用的编程语言无法反转即使它具有。所以，我正在考虑使用伪逆。 $f(A)=\text{vec}(A^{-1})^\intercal B$ $A^{-1}$ $A$ $Det(A)>0$

但是，我不知道真逆和伪逆之间是否存在“距离”关系。我只知道当有一个逆时，两者都是相等的。但它会很好，当原始矩阵 A 和 A 的“扰动/截断”版本接近时，伪逆接近原始矩阵的逆......

我还在研究有一种相对简单有效的计算方法的伪逆。

有什么建议？

编辑： $\dim(A)=DT\times DT$ 和 $\dim(B)=D^2T^2\times D^2$

根据 Federico Poloni 的评论，我想我实际上可以将上面的函数重新计算为

{[\dots T r (LinearSolve (A^{⊺}, C_{i})) \dots]}_{1 \times i = 1, . . ., D^{2}}

$\left[\cdots Tr\left(\text{LinearSolve}\left(A^\intercal, C_i \right) \right) \cdots \right]_{1\times i=1,...,D^2}$ 其中

C_{i} = {Reshape}_{D T \times D T} (Column (B, i))

$C_i=\text{Reshape}_{DT\times DT}\left(\text{Column}(B,i)\right)$

1个回答

伪逆通常将通过一些截断过程来计算以确定秩，因此它们并不接近原始逆。示例：具有精确（伪）逆但任何数值程序都必须采取排名的决定，并且可能会将其中一个或两个对角线条目截断为零，例如返回或（取决于截断阈值），

A = Q [\begin{matrix} 1 \\ 10^{- 12} \\ 10^{- 18} \end{matrix}] Q^{*}

$A = Q \begin{bmatrix} 1\\ & 10^{-12} \\ & & 10^{-18} \end{bmatrix}Q^{*}$

A^{+} = A^{- 1} = Q [\begin{matrix} 1 \\ 10^{12} \\ 10^{18} \end{matrix}] Q^{*},

$A^+ = A^{-1} = Q \begin{bmatrix} 1\\ & 10^{12} \\ & & 10^{18} \end{bmatrix}Q^{*},$

B = Q [\begin{matrix} 1 \\ 10^{12} \\ 0 \end{matrix}] Q^{*},

$B = Q \begin{bmatrix} 1\\ & 10^{12} \\ & & 0 \end{bmatrix}Q^{*},$

B = Q [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] Q^{*},

$B = Q \begin{bmatrix} 1\\ & 0 \\ & & 0 \end{bmatrix}Q^{*},$

A^{+}

$A^+$ . 这是一个固有的限制，我认为你无法克服它。这是设计使然：通常，当一个人写作时，他pinv(A)想要，而不是。如果您真的想要，那么只需使用并忘记警告。

B

$B$

A^{- 1}

$A^{-1}$

A^{- 1}

$A^{-1}$ inv(A)

但可能是时候回到黑板上，想想在这些边缘情况下你真正需要什么，看看是否有更稳定的替代表达方式。如果您的问题的确切解决方案是病态的，那么它可能甚至不是您最终想要的。

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