计算科学 - 重新构造一个凸优化问题x ↦最大值( x , 0 )x↦max(x,0)在约束 - 吾爱随笔录

重新构造一个凸优化问题x ↦最大值( x , 0 )x↦max(x,0)在约束

计算科学优化凸优化

2021-12-20 18:51:36

我想知道是否有一个众所周知的转换可以解决形式的凸优化问题

\begin{array}{ll} \underset{x}{maximize} & r^{T} x \\ subject to & 1^{T} x + \sum_{i} f_{i} (x_{i}) \leq 0 \end{array}

$\begin{array}{ll} \underset{x}{\text{maximize}} & r^T x\\ \text{subject to} & \mathbf{1}^T x + \displaystyle\sum_i f_i\left(x_i\right) \leq 0\end{array}$

其中惩罚由凸损失组成

f_{i} (x) := c_{i} max (x, 0)

$f_i\left(x\right) := c_i \max\left(x, 0\right)$

非常感谢指点！

1个回答

因为你说损失是凸的，所以我假设所有 $c_i \ge 0$ ，这意味着 max 以凸的方式使用。鉴于此，这个问题可以表述为线性规划问题（LP）。

定义其他优化变量。将替换为，并添加约束。结果是一张LP。 $y_i$ $f_i(x_i)$ $c_iy_i$ $y_i \ge x_i, y_i \ge 0$

max_{x, y} r^{T} x subject to 1^{T} x + \sum_{i} c_{i} y_{i} \leq 0

$\max_{x,y}\quad r^Tx\\\text{subject to }\mathbf{1}^T x + \sum_i c_iy_i \leq 0$

y \geq x

$y\ge x$

y \geq 0

$y \ge 0$ 其中后两个不等式被解释应用于向量的每个元素。

许多优化建模工具，甚至是线性规划求解器，都允许输入max，并将为您执行此转换。当max以非凸方式使用时，这些系统将产生混合整数线性规划问题 (MILP)。

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