计算科学 - 非线性向量函数求解系统 - 吾爱随笔录

我试图弄清楚如何为形式的非线性方程组实现求解器

\begin{aligned} u_{1} & = y_{n} + h (a_{1, 1} f (t_{n} + c_{1} h, u_{1}) + a_{1, 2} f (t_{n} + c_{2} h, u_{2})) \\ u_{2} & = y_{n} + h (a_{2, 1} f (t_{n} + c_{1} h, u_{1}) + a_{2, 2} f (t_{n} + c_{2} h, u_{2})) \end{aligned}

$\begin{align*} u_1 &= y_n + h\left(a_{1,1}f(t_n + c_1 h, u_1) + a_{1,2}f(t_n + c_2 h, u_2)\right) \\ u_2 &= y_n + h\left(a_{2,1}f(t_n + c_1 h, u_1) + a_{2,2}f(t_n + c_2 h, u_2)\right) \end{align*}$ 在哪里

f : R^{m} \to R^{m}

$f: \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$ 可以是任何非线性函数，并且

u_{1}, u_{2} \in R^{m}

$u_1, u_2 \in \mathbb{R}^m$ 是唯一的未知数。

我知道如何使用牛顿法 $\vec{x}_{k+1} = \vec{x}_{k} - J^{-1}(F)F(\vec{x}_{k})$ 对于单个向量函数，但我对如何将其应用于多个函数感到困惑。从我一直在阅读的论文中，作者参考了使用改进的牛顿方法来使用 kronecker 产品创建的块矩阵，但是当我这样做时，它给我留下了一个矩阵 $\mathbb{R}^{2m}$ 我不知道该怎么办。我还看到作者定义了一个包含其他雅可比矩阵的雅可比矩阵，但同样，我不知道如何在计算机上处理它。我应该如何为这样的系统创建迭代方法？我正在尝试实现它以将其与 Radau IIA 方法一起使用。