用 FEM 离散化后的方程组可以用实代数写成

$$\begin{bmatrix} A_{R} &-A_{I}\\ A_{I} &A_{R} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}p_R\\ p_I\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}f_R\\ f_I\end{Bmatrix}\, ,$$

其中子索引和指的是阻抗矩阵、压力向量和源向量的实部和虚部。$R$$I$

通常，阻抗和负载矢量中的输入场的虚部会有所贡献。这意味着压力矢量的实部取决于这些虚部。如果你能保证你有，我认为你可以只使用实部。$A_I = 0$

我想分享一些我做的测试，看看不考虑虚部是否有任何惩罚。

通常，亥姆霍兹方程的弱形式写为

$$\int_{\Omega}(\nabla p \cdot \nabla \overline{q} - \kappa ^2 p \overline{q})d \Omega = \int_{\Gamma}g \overline{q}ds$$

但是当我们考虑真实的（$p_r$) 和虚构的 ($p_i$) 部分，它变成

$$\int_{\Omega}(\nabla p_r \cdot \nabla \overline{q}_r + \nabla p_i \cdot \nabla \overline{q}_i + \nabla p_r \cdot \nabla \overline{q}_i + \nabla p_i \cdot \nabla \overline{q}_r - \kappa^2 p_r \overline{q}_r - \kappa^2 p_i \overline{q}_i - \kappa^2 p_r \overline{q}_i - \kappa^2 p_i \overline{q}_r)d\Omega = \int_{\Omega}(g \overline{q}_r + g \overline{q}_i)d\Omega$$

所以我在一个 2D 方形域中运行了 3 次模拟，其中左边界受到参考入射波的影响。在第一个中，我使用了原始的弱形式。在第二个我分裂$p$并将域分为实部和虚部，但保持$0i$. 最后，对于我采取的第三个$isin(\kappa x_1)$考虑到。结果如下所示，我在其中绘制$p$对于第一个模拟和$p_r$为其他人。

除非我在某处犯了错误，否则结果是相同的。所以我相信我可以继续进行更简单的模拟。

正如@nicoguaro 所指出的，我用散射器做了更多的测试。这些新模拟的整体设置与我之前的答案以及结论相同。一定有某种方法可以在数学上证明$A_I = 0$，但不幸的是我现在没有时间调查它。

我会留下一张图片以供进一步参考。