计算科学 - 在 FVM 中计算面通量 - 吾爱随笔录

计算科学有限体积数字

2021-11-27 20:59:11

在 FVM 中，我们必须计算细胞某个面的通量。有很多方法可以计算这个面部通量值，但最常见和最简单的方法是在面部进行一些简单的平均。但是，我对平均的最佳方法有点困惑。

我想知道的特殊情况是当你有一些材料属性乘以梯度时。例如，热传导方程为。 $k \frac{dT}{dx}$

为此，我们要在一个面上计算。通过使用简单的平均技术，我可以看到两种方法可以做到这一点。 $k \frac{dT}{dx}$

为了说明这两种方式，我们假设单元格和单元格是人脸的邻居。让我们假设细胞中心与面部中心的距离相等，以避免谈论加权平均值。 $L$ $R$

两种方式是：

(1)

0.5 (k_{L} \frac{d T}{d x} |_{L} + k_{R} \frac{d T}{d x} |_{R})

$0.5(k_L\frac{dT}{dx}|_L + k_R\frac{dT}{dx}|_R)$

(2)

0.5 (k_{L} + k_{R}) * 0.5 (\frac{d T}{d x} |_{L} + \frac{d T}{d x} |_{R})

$0.5(k_L + k_R) * 0.5(\frac{dT}{dx}|_L + \frac{dT}{dx}|_R)$

在第一种情况下，我们计算每个单元中的热传导，然后对其进行平均以获得表面的热传导。在第二种情况下，我们平均每个单元的电导率，以及每个单元的温度梯度，然后我们根据平均电导率和平均温度梯度计算表面的热传导。

一种方法优于另一种方法吗？，这两种方法是等价的，所以这个讨论假设它们是不同的。 $k_L = k_R$

1个回答

您正在寻找谐波平均值。如果你想想两个细胞之间的脸，会发生什么样的奇特情况？

我认为，规范的方法是使用调和平均：

k_{interface} = \frac{1}{(1 / k_{l}) + (1 / k_{r})}

$k_\text{interface} = \frac{1}{(1/k_l) + (1/k_r)}$

如果你眯着眼睛看那个平均值，你会看到或将迫使你的界面通量为零。如果值远高于零，但不同，则平均值将给出两者之间的合理值。如果它们相等，您也将获得正确的平均值。 $k_l = 0$ $k_r=0$

如果您的材料属性不是标量，即向量，或者，上帝禁止，扩散张量，它会变得更高级，但在您的情况下应该足够了。

对于您需要的导数，您必须考虑单元格中有多少自由度。如果您有一个以单元为中心的自由度的结构化四边形网格，那么您将在与相邻单元中的两个自由度的界面上离散导数。如果您碰巧每个单元格有更多自由度，则您有更多选择，但规范的 FV 方式是每个单元格一个自由度。

所以总的来说你会有这样的东西：

$f = \frac{u_r - u_l}{h} ~ k_\text{interface} ~A$

使用离散导数、平均材料属性和面面积 A。 $k_\text{interface}$

如果您想更深入地研究，为什么要使用谐波平均来查看以下链接中第 3 章（“交互量”）中的介绍。您可以适当地跳过大部分论文，但他们可能比我做得更好： Ivar Aavatsmark - Multipoint Flux approximation methods forquadrilateral grids

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