这个问题是关于实施的四阶 IMEX Runge-Kutta 方法的延续 。在我看来，第一个隐含阶段值涉及直接评估，而不是求解某个方程。也就是说，如果 ，并且阶段用和，然后。
这对于大多数方案来说似乎很常见，因为隐式部分的 Butcher 画面在第一列中只有非零元素。然而，这似乎不是一种隐含的处理方式。我错过了什么？
Kennedy 和 Carpenter 的高阶 IMEX 方法的实现细节
计算科学
颂
龙格库塔
数字
2021-12-24 21:19:52
1个回答
这对于大多数方案来说似乎很常见，因为隐式部分的 Butcher 画面在第一列中只有非零元素。然而，这似乎不是一种隐含的处理方式。我错过了什么？
这称为 ESDIRK 方法或显式第一步单对角隐式 Runge-Kutta 方法。需要明确的第一步来实现 DAE 的高阶条件（称为“stiffly-accurate”）。另一个订单条件是 FSAL 是必需的，因此您会注意到所有方案也都这样做，并且由于它是 ESDIRK，您可以将其翻转为第一阶段，因此实际上不需要明确的评估（取决于您节省的数量）。
dt*f但是你需要小心，因为如果你放宽项而不是输入本身，迭代只会对高刚性方程的数值稳定。这是Shampine 的 TRBDF2论文中讨论的内容。因此，日晷实现是一个很好的资源，但是如果您曾经打开过日晷，您会注意到测试方程中发生了一些奇怪的事情（并且测试方程需要相当大地降低收敛系数）。我的理论是这是由于他们的迭代选择，因为DifferentialEquations.jl 版本没有这个问题。这意味着，当您确实找到它们起作用的方程式时，它们的运行时间比应有的要高...作为参考，如果你想复制一些东西，这里是 3 阶 KenCap 的开源Julia 实现，以不适当的形式。就地表格以及其他订单也在该文件中。
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正如另一篇文章中提到的，FSAL 属性仅在画面的隐含部分。因此，当您将其用作 ESDIRK 方法时，它是 FSAL，这是非常精确的订单条件之一。但是用IMEX求解时更新值并不是直接来自隐式tableau，所以隐式部分的第一步确实需要函数求值。