与许多更多关于哲学而不是科学的问题一样，至少有三种不同的方式来回答你的问题，每种方式都有一个相当扎实的论据：

1. 鉴于有限体积法需要离散化问题，因此不存在精确的连续 PDE 成立的地方。

2. 但是，我们确实为每个单元创建了一个表示原始 PDE 的离散版本的方程，因此在这个意义上，每个单元中都有一个“有效”方程。

3. 除非您的原始系统非常简单，或者您做出了一些非常不寻常的选择，否则最终系统将耦合代表每个单元的自由度。正是在这个意义上，当试图解决问题时，只有全局解决方案。

让我们通过产生一个有限差分方法，看看每个位何时开始。由于我们选择使用 FVM，我将假设原始 PDE 看起来像

$$\frac{\partial \tau }{\partial t} +\nabla\cdot \mathbf{F}(\tau) = 0.$$ 幸运的是，您询问的所有方程式都可以用这种保守的形式写成。现在对于每个单元格，我们写一个积分方程， $$\int_{e_i}\frac{\partial \tau }{\partial t} +\nabla\cdot \mathbf{F}(\tau)d\mathbf{x} = 0.$$ 按部分积分，并将微分拉到积分之外 $$\frac{d \tau }{dt} \int_{e_i}\tau d\mathbf{x} =\int_{\delta e_i} \mathbf{F}(\tau)\cdot d\mathbf{S}.$$ 这是我们最后一次有一个（积分）方程在道德上与原始 PDE 相同，（qv 答案 [1]）。

从这一点开始，我们选择表达通量的积分，

$$\int_{f(e_i,e_j)} \mathbf{F}(\tau)\cdot d\mathbf{S},$$ 通过刻面引导，$f(e_i,e_j)$, 边界细胞$e_i$和$e_j$，就我们的细胞积分而言，$\int_{e_i}\tau d\mathbf{x}$和$\int_{e_j}\tau d\mathbf{x}$. 现在方程已经离散化了。

如果我们选择（奇怪地）在$f(e_i,e_j)$仅作为函数给出$\int_{e_i}\tau d\mathbf{x}$，那么各个自由度是解耦的，对于每个自由度我们只有一个独立可解的方程$\int_{e_i}\tau d\mathbf{x}$（强烈建议为您的原始问题提供答案 [2]）。

然而，这意味着放弃本地保护$\tau$，FVM 的理想属性之一，它需要$f(e_i,e_j)$和$f(e_j,e_i)$匹配。一旦我们这样做了，变量就会耦合，我们只能通过攻击全局解决方案来找到解决方案。在这一点上，我们可以改为争论答案 [3]。