计算科学 - 具有质量矩阵的线性常微分方程组 - 吾爱随笔录

具有质量矩阵的线性常微分方程组

计算科学线性代数数值分析颂特征值迭代法

2021-11-30 21:23:16

有哪些方法可以有效地求解以下形式的大量线性齐次常微分方程？

B \frac{d y}{d t} = A y,

$\begin{equation} \mathbf{B} \frac{d\mathbf{y}}{dt} = \mathbf{A} \mathbf{y}, \end{equation}$ 在哪里

B \in C^{N \times N}

$\mathbf{B} \in \mathbb{C}^{N\times N}$ 是 Hermitian 正定的，

A \in C^{N \times N}

$\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{N\times N}$ 是厄米特，

y \in C^{N}

$\mathbf{y}\in \mathbb{C}^N$ ，和

N

$N$ 是一个大整数，使得不是矩阵的所有元素

A

$\mathbf{A}$ 要么

B

$\mathbf{B}$ 可以存储在主存储器中。

有没有避免计算的方法 $\mathbf{B}^{-1}$ , 求解一个线性方程 $\mathbf{B} \mathbf{x} = \mathbf{c}$ 对于任何 $\mathbf{c}$ , 和对角化 $\mathbf{B}$ ? 对于相关的特征值问题，似乎有这样一种“逆自由”方法 [1]， $\mathbf{B} \lambda \mathbf{y} = \mathbf{A}\mathbf{y}$ ，我想知道这种方法是否可以扩展到 ODE。

[1] 例如 Gene H. Golub, Qiang Ye, An Inverse Free Precondition Krylov Subspace Method for Symmetric Generalized Eigenvalue Problems, SIAM J. Sci. 比较。24, 312 (2002)。

1个回答

B被称为质量矩阵。有很多方法可以直接用质量矩阵求解。主要是隐式方法：隐式 Runge-Kutta 方法和多步 BDF 方法。Rosenbrock 方法也可以直接处理质量矩阵，但不是隐式方法。

“为什么有效”的快速概述是因为在每一步这些方法都必须求解涉及 RHS 雅可比行列式的线性方程。线性问题通常具有以下形式 $(I - \gamma J)x=b$ 在哪里 $J$ 是系统雅可比行列式， $\gamma$ 和 $b$ 是一些常数，并且 $x$ 是必须解决的系统的演变。好吧，事实证明，如果你只使用质量矩阵 $B$ 通过将系统更改为 $(B - \gamma J)x=b$ ，这些直接解决了质量矩阵的线性问题，隐式反转 $B$ 在它已经在做的计算中（这是因为 $I$ 取雅可比行列式时来自 LHS，但使用质量矩阵而不是该值 $B$ ！）。Shampine 的论文中概述了使用非自适应二阶版本的 Rosenbrock 方法执行此操作并不困难，尽管如果没有自适应时间步长，您会损失很多效率。

如果您使用 Julia，DifferentialEquations.jl 可以访问这些方法。只是改变类型mass_matrix的构造ODEProblem。该Rosenbrock23()方法将处理这样的质量矩阵。此外，质量矩阵可以传递给隐式 RK 方法radau()，radau5()如果您希望以高精度解决刚性问题，这些方法具有更高阶并且往往更快。从技术上讲，日晷CVODE_BDF()可以使用质量矩阵来解决，但是为此设置 C FFI 存在一个未解决的问题（它在我的优先级列表中很高。完全披露：我是微分方程的开发人员）。

如果您可以处理转而使用 MATLAB 的性能下降，您会发现该领域非常相似。ode23s是二阶 Rosenbrock 方法，与非常相似Rosenbrock23()，并且可以使用恒定质量矩阵. ode15s非常类似于CVODE_BDF()并且可以采用质量矩阵。MATLAB 没有隐式 RK 方法，但它确实ode23t适用于需要辛积分器并且可以处理质量矩阵的问题。

我没有看到将质量矩阵传递给 SciPy 的 ODE 求解器的选项，也没有使用 SciPy 包装器。它们包含一些与DifferentialEquations.jl 相同的代码，所以我知道在某些情况下，质量矩阵可以通过他们使用的底层C/Fortran 代码来求解，但看起来API 的那部分没有公开。

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