计算科学 - 的定义是什么大号∞L∞- 不合格有限元的规范？ - 吾爱随笔录

我们知道

\begin{aligned} ‖ u ‖_{0, \infty, Ω} = {ess sup}_{x \in Ω} | u | . \end{aligned}

$\begin{align*} \|u\|_{0,\infty,\Omega}={\text{ess} \sup}_{x\in \Omega}|u|. \end{align*}$ 此外，非一致性 Crouzeix-Raviart 有限元空间为

\begin{aligned} V_{h} = {v |_{K} \in P_{1} (K), v is continuous at the midpoints of edges and v = 0 at the midpoints on boundary edges} . \end{aligned}

$\begin{align*} V_h=\{ v|_K\in P_1(K),\ v ~\text{is continuous at the midpoints of edges and } v=0 \text{ at the midpoints on boundary edges}\}. \end{align*}$ 对于函数

w \in V_{h}

$w\in V_h$ ，我们知道

w \notin H_{0}^{1} (Ω)

$w\notin H_0^1(\Omega)$ 。

我的问题是 $\|w\|_{0,\infty,\Omega}$ 和 $\|\nabla w\|_{0,\infty,\Omega}$ 的定义是什么？

此外，逆不等式

\begin{aligned} ‖ \nabla w ‖_{0, \infty, Ω} \leq C h^{- 1} ‖ w ‖_{0, 2, Ω}, w \in V_{h} \end{aligned}

$\begin{align*} \|\nabla w\|_{0,\infty,\Omega}\leq Ch^{-1}\|w\|_{0,2,\Omega}, w\in V_h \end{align*}$ 持有？