我将尝试一一回答您的问题，但恐怕它们太基础了，从长远来看，仅靠这些答案无法对您有很大帮助：

1/ 不，可以在任何起始网格上运行 AMR。它不一定是正方形。其他域上的自适应网格的一些示例如下：https ://github.com/dealii/dealii/wiki/Gallery

2/ 以单元为中心和以顶点为中心的方案在某种意义上是相互对偶的。您通常可以根据在移动网格上定义的另一个来考虑其中一个。我想它们都同样容易/难以实现。

3/只要你在单位正方形上，如果你知道你是如何通过网格细化到达那个单元格的，你就可以计算出一个单元格顶点的位置。另一方面，如果您从任何其他网格开始，则必须存储顶点的位置。

4/ 除了使用四叉树之外，还有其他方法可以进行 AMR。例如，您可以对三角形进行最长边二等分或红绿细化。（因为你已经找到了我的视频讲座，所以这将是第 15 课。）不过，四叉树对于四边形来说是一种特别有用的方法。