使用 FEM 方法在三角形网格上近似的标量场f可以给出为

$f(x,y) \approx \bar{f}(x,y) = \sum_{n=1}^3 \left(\phi_n(x,y) \cdot f_n \right)$

那么，我的理解是，可以在每个三角形内部找到f的梯度

$\nabla \bar{f}_t = \sum_{n=1}^3 \left(\frac{\partial\phi_n(x,y)}{\partial x} \cdot f_n , \frac{\partial\phi_n(x,y)}{\partial y} \cdot f_n\right)$

在哪里$f_t$是三角形质心处的值。由于每个点的值$f_n$仅在单个点上定义，它充当导数中的标量。

但是，如果我们想要从之前的解决方案中获取每个组件的梯度怎么办？一种方法似乎是将三角形质心的梯度结果内插回给定点，然后对每个分量重复该过程。但是，如果这种插值不令人满意怎么办——有没有办法从三角形质心的数据中定义每个点的梯度？

这里似乎提出了一个类似的问题，但我不确定解决方案是否相关——答案解决方案似乎涉及遍历相邻三角形的所有基函数，而在我看来，只有一个基函数来自需要每个相邻的三角形——在观察点处具有非零值的三角形。

考虑到这一点，我推导出了以下等式：

$\nabla \bar{f}_i = \sum_{n=1}^{t_i} \left(\left( \frac{\partial\phi_i^n(x,y)}{\partial x}, \frac{\partial\phi_i^n(x,y)}{\partial y} \right) \frac{f_n}{t_i} \right)$

其中i是观察点，并且$t_i$是包含顶点i的三角形的数量。

不幸的是，它似乎不起作用，我不确定对三角形数量进行平均是否合适。有人可以指出我正确的方向吗？