计算科学 - 具有源项的声/标量（非均匀）波动方程的解析解 - 吾爱随笔录

具有源项的声/标量（非均匀）波动方程的解析解

计算科学有限差分波传播

2021-12-24 21:44:38

二维声波方程为

\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} p (x, z, t) = c (x, z)^{2} [\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} p (x, z, t) + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} p (x, z, t)] + s (x, z, t) .

$\frac{\partial^2}{\partial t^2}p(x,z,t) = c(x,z)^2\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}p(x,z,t) + \frac{\partial^2}{\partial z^2}p(x,z,t)\right] + s(x,z,t) \enspace .$

任何人都可以对上述问题给出分析解决方案，而不用担心边界条件（假设无限边界）？

$p$ 是标量场（压力）
$c$ 是速度（一个标量值），在域中的任何地方都相同。
$s(x,z,t)$ 或源函数仅在域中的一个点（在 2D / 3D 域的中心）。

此代码的有限差分 IPython 片段是

# it is the time step number.
# dt is the time step size.
# src is the source

f0 = 100.0    # dominant frequency of source (Hz)
T = 1.0 / f0  # dominant period
ist = 100     # shifting of source time function
src[it] = exp(-1.0 / T ** 2 * ((it - ist) * dt) ** 2)   # This is a Gaussian source
# Take the first derivative to finally define the source function.
src = np.diff(src) / dt

绿色的功能对我来说有点复杂。

鉴于此，如何重新定义/适应我们的有限差分情况： https ://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_wave_equation#Cartesian_coordinates

2个回答

您可以使用制造解法 (PDF)为这个方程组成任意数量的解。您是否有理由只关注这种特殊情况，或者您可以使用任何解决方案/强制功能对？

我知道你想解微分方程

\nabla^{2} u - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = f (t) δ (r),

$\nabla^2 u - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = f(t)\delta(\mathbf{r}) \enspace ,$

对于无界域，是位置向量，并且 $\mathbf{r}$

f (t) = - \frac{2 (t - t_{0})}{T^{2}} e^{- \frac{{(t - t_{0})}^{2}}{T^{2}}},

$f(t) = -\frac{2(t-t_0)}{T^2} e^{-\frac{\left( t-t_0\right)^2}{T^2}} \enspace ,$

虽然，我们不需要显式地编写这个函数。

然后我们计算方程的傅里叶变换，即

\nabla^{2} u + k^{2} u = \hat{f} (ω) δ (r),

$\nabla^2 u + k^2 u = \hat{f}(\omega)\delta(\mathbf{r}) \enspace ,$

和 $k^2 = \omega^2/c^2$ ，和 $\hat{f}(\omega)$ 的傅里叶变换 $f(t)$ 上面写着

\hat{f} (ω) = \frac{i ω T e^{- \frac{ω^{2} T^{2}}{4} - i ω t 0}}{\sqrt{2}} .

$\hat{f}(\omega) = \frac{i\,\omega\,T\,{e}^{-\frac{{\omega}^{2}\,{T}^{2}}{4}-i\,\omega\,t0}}{\sqrt{2}} \enspace .$

而且，您的问题的解决方案看起来像

u (t) = \frac{i}{4 \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} H_{0}^{(1)} (k | r |) \hat{f} (ω) e^{i ω t} d ω .

$u(t) = \frac{i}{4 \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} H_0^{(1)}(k|\mathbf{r}|) \hat{f} (\omega) e^{i\omega t} d\omega \enspace .$

您应该阅读有关亥姆霍兹方程、傅里叶变换和卷积的解以了解该过程。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇并行的模板化数值线性代数下一篇MATLAB：MATLAB 中使用的 qr 算法和 DGEMM 是否考虑输入矩阵是否为三边形并进行相应优化？