计算科学 - 积分微分偏微分方程和线法 - 吾爱随笔录 - 问答

积分微分偏微分方程和线法

计算科学有限差分线法

2021-12-10 21:51:35

让我们考虑以下等式：

\partial_{t} u = Δ_{x} u + K * u

$\partial_t u = \Delta_x u + K*u$ 在哪里

K

$K$ 是一个光滑的内核，

u (x, t)

$u(x,t)$ 是未知数和

x

$x$ 在

Ω

$\Omega$ 1d 或 2d 中的域。

我想用线条的方法数值求解：

\dot{u_{i}} = \frac{u_{i + 1} - 2 u_{i} + u_{i - 1}}{h^{2}} + (K * u)_{i}

$\dot{u_i} = \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2} + (K * u)_i$

这是一个好方法吗？整体部分有什么技巧吗 $(K * u)_i$ ? 我觉得非常耗时。

编辑：

方程实际上是

\partial_{t} u = Δ_{x} u + u (K * u)

$\partial_t u = \Delta_x u + u (K*u)$ 线的方法给出

\dot{u_{i}} = \frac{u_{i + 1} - 2 u_{i} + u_{i - 1}}{h^{2}} + u_{i} (K * u)_{i}

$\dot{u_i} = \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2} + u_i (K * u)_i$

2个回答

在空间中进行傅里叶变换并求解描述第一个的常微分方程 $N$ 傅立叶系数。这是可能的，因为拉普拉斯算子在傅立叶变换后变成了与波数的乘法，而卷积变成了直线乘法。这使得所有操作都相当简单，特别是如果你只有一个一维域。

如果您对问题反应部分的离散化是明确的，您仍然可以使用 Bangerth 教授的建议。您可以快速计算 $K*u$ 在两者上使用快速傅里叶变换 $K$ 和 $u$ ，乘以变换然后变换回来。然后您可以轻松计算 $u\cdot K*u$ 在任何网格点。但是，您可能会遇到显式时间离散化和相当大的时间步长的稳定性问题；反应扩散方程通常是僵硬的。如果您写出内核是什么，我们可能会给您更多建议。

由于内核在远离原点的地方迅速减小，您也可以尝试近似卷积 $K * u$ 使用类似快速多极方法的方法。这个想法最初是用来转 $O(N^2)$ 引力计算 $N$ - 体势转化为 $O(N\log N)$ 近似势的计算，但它已扩展到更一般的问题。FMM 经常出现在前 10 大算法列表中，因此原则上也值得了解。

快速多极法和更一般的层次矩阵法常用于积分方程的数值解。

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