是的，许多迭代方法仍然会收敛，或者至少在它们已经用尽与对应于非零特征值的特征向量的跨度相对应的所有搜索方向时会崩溃。例如，您可以将 CG 用于纯 Neumann 问题。

因为所有这些方法都是确定性的，如果它们收敛，它们将收敛到解决方案集中的特定元素。例如，对于应用于纯 Neumann 问题的 CG 方法，我怀疑可以证明解向量的元素的平均值等于初始猜测的元素的平均值，因为人们只会将向量添加到平均值为零的迭代。换句话说，你最后得到的向量将是无限多个中的一个特定解；当然，它是否是您想要的那个是另一个问题。

使用 Krylov 求解器求解时$\mathbf A \mathbf x = \mathbf b$系统，奇点$\mathbf A$只要是良性的$\mathbf b$是一致的。考虑将共轭梯度 (CG) 算法应用于对称正半定$\mathbf A$（单数，但所有非零特征值仍然为正）。进一步假设$\mathbf b$是在范围内$\mathbf A$，我们选择初始猜测为$\mathbf x = \mathbf 0$. 然后，搜索向量/残差$\mathbf r = \mathbf b - \mathbf A \mathbf x$将始终与零空间正交$\mathbf A$（因为在 CG 中，搜索向量/残差总是通过应用来绘制$\mathbf A$到以前的残差，这个乘以$\mathbf A$不能在零空间中生成任何组件）。该算法永远无法“感知”$\mathbf A$，并将收敛到（唯一！）$\mathbf x$这样$\mathbf A \mathbf x = \mathbf b$和$\mathbf x \perp \mathrm {null}(\mathbf A)$

matlab 中的一个简短演示：

clear all
close all

% Form positive semidefinite A.
N = 10;
[Q,~] = qr(rand(N));
D1 = linspace(1,N/2,N/2);
D2 = zeros(1,N/2);
D = diag([D1 D2]); 
A = Q*D*Q';
kappa = cond(A) % infinite/singular

% Form random b in range(A).
b = A * rand(N,1);

% Solve A*x=b using CG.
x = pcg(A,b);

% Check properties.
residual = norm(A*x-b)
nullity = norm(x'*null(A))

可以为其他 Krylov 求解器提出类似的论点，但我不能真正与“经典”迭代求解器（Gauss-Seidel 等）交谈。我怀疑它们是否表现良好。

有完全基于这个想法的预处理策略（通货紧缩）：找到特征向量的基础$\mathbf A$对求解器有某种问题，然后将它们“放气”/投影出来（更改运算符，使相应的特征值映射为零），然后将相同的投影应用于$\mathbf b$, 并迭代。有关通货紧缩预处理（涉及奇异系统的收敛性分析）的更多信息，我建议：

唐，JM，等。“基于多重网格和通缩的两级预处理器的比较。”

Erlangga、Yogi A. 和 Reinhard Nabben。“适用于非对称矩阵的 Krylov 子空间方法的通缩和平衡预调节器。”