复合辛普森规则将区间细分为 n 个相等的子区间，其中 n 个偶数。

然后

$$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + ... + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$$

（在哪里$x_0 = a$和$x_n=b$,$h=(b-a)/n$)

资源

那么如果给定n个相等的间隔，n个奇数怎么办？

我实施的一种解决方案是使用辛普森规则计算除最后一个区间之外的所有区间，并对最后一个区间使用梯形规则。这似乎工作得很好。

但我开始思考，我将如何使用辛普森规则计算最后一个间隔？

考虑

$$\begin{aligned} I_1 &= \frac{h}{3}[f(x_{n-3}) + 4f(x_{n-2}) + f(x_{n-1})] \\ I_2 &= \frac{h}{3}[f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)] \\ \end{aligned}$$

$x_n$是积分区间的终点。$I_1$将是对应于最后一个子区间的总和，使得所考虑的子区间的总数是偶数。$I_2$是辛普森规则应用于最终的奇数子区间，但子区间的一半与$I_1$.

有没有办法确定什么是共同的$I_1$和$I_2$并减去它？只是盯着看，我不能轻易看出有什么共同之处。是不是这么简单$(1/2)(h/3)[5f(x_{n-2}) + 5f(x_{n-1})]$?