计算科学 - Lanczos 对大矩阵元素有问题吗？ - 吾爱随笔录

Lanczos 对大矩阵元素有问题吗？

计算科学本征系统收敛

2021-11-28 01:15:57

我有一个大但非常稀疏的矩阵，我想对角化。不过，我自己的 Lanczos 实现和 scipy 内置的 ARPACK 都无法正确收敛。我知道我的 Lanczos 代码本身是正确的，ARPACK 实现也应该是正确的。

我注意到我的矩阵的一件事是 $n$ -th 行长得像 $\mathcal{O}(n^2)$ . 这会导致问题吗？特别是因为 - 由于物理原因 - 我预计与最小（代数）特征值相关的特征向量在这些指数上的权重很小。

编辑：如果我从一个完全非随机的起始向量开始，该向量在第一个元素中的权重为 1，并且在其他任何地方都为零，那么我自己的 Lanczos 和 ARPACK 都会收敛到正确的（LAPACK 密集矩阵对角化）解决方案。在我还没有一些物理直觉的一般环境中，我正在寻找什么特征向量，可以做些什么来对抗大型矩阵元素（对角线和非对角线）？

1个回答

听起来对于您的一般情况，您应该进行某种列和行缩放，有效地使用对角缩放矩阵进行左右预处理。您将计算这些缩放矩阵以尝试使所有矩阵元素处于同一数量级。

示例让我们使用一个示例 $2\times 2$ 矩阵

[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 10^{10} & 2 \times 10^{10} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 10^{10} & 2\times 10^{10} \end{bmatrix}$ 它有特征向量（大约）

[5 \times 10^{- 11}, 1]^{T}

$[5\times 10^{-11},1]^T$ 和

[- 2, 1]^{T}

$[-2,1]^T$ . 假设我们将其缩放为

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 10^{- 5} \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 10^{10} & 2 \times 10^{10} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 10^{5} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 10^{-5} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 10^{10} & 2\times 10^{10} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 10^{5} \end{bmatrix}$ 显然特征值不会改变，但特征向量现在是和。请注意，第一个特征向量的元素彼此相差 6 个数量级，而不是 11 个。当然，第二个特征向量的缩放比例更差，但并不比第一个差。由于特征向量的小元素的准确性取决于它们相对于最大元素的大小，因此这种缩放应该会总体上有所改善。

[5 \times 10^{- 6}, 1]^{T}

$[5\times 10^{-6},1]^T$

[- 200000, 1]

$[-200000,1]$

编辑对称 如果是对称的，那么原始特征值问题是。如果我们在两边应用对称缩放矩阵，那么 for。这以必须解决广义特征值问题为代价来保持对称性（但矩阵只是对角线，所以这可能还不错）。 $A$ $Ax=\lambda x$ $S$ $A$

S A S y = λ S^{2} y

$SASy = \lambda S^2 y$

y = S^{- 1} x

$y=S^{-1}x$

B

$B$

请注意，以具有良好的舍入元素，例如 2 的精确幂。这使得而不会出现舍入误差，并且只要在浮点范围内，就可以准确存储. $S$ $S$ $S^2$

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