计算科学 - 使用磁矢量势的静电有限体积解 - 吾爱随笔录

使用磁矢量势的静电有限体积解

计算科学收敛有限体积

2021-12-13 01:37:10

我想使用有限体积法（并置网格）求解电势和磁矢量势。我的方程式是：

$\nabla\cdot(\sigma\nabla\phi)=0$

$\nabla \cdot \nabla A = \mu_m \sigma \nabla\phi$

该域是一个楔形，具有以下边界条件：

电位的固定梯度 $\phi$ 在顶部，底部为零梯度，在侧边界处为零值
磁矢量势的零梯度 $A$ 在所有边界上

没想到这会是个棘手的问题，但是线性求解器（GAMG）只在欠松弛下收敛，结果取决于欠松弛因子的值。谁能给我一个提示，哪里出了问题？

附加信息：我使用的软件包是 OpenFOAM。梯度使用高斯线性方案离散化，拉普拉斯算子使用“高斯线性校正”（显式非正交校正）。

2个回答

该解决方案需要进行两项更改：

更改边界条件 $A$ 到固定值 0，它遵循 $B\cdot n = 0$ 在边界处。
禁用松弛不足。即使系统在没有欠松弛的情况下收敛，但无论我为欠松弛系数分配哪个值，我都无法达到收敛。这似乎是在 OpenFOAM 中实现矩阵松弛的问题。

OpenFOAM 倾向于遵循 [Ferziger & Peric, Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2002] 所以我的猜测是他们解决了

\begin{aligned} outer iter: do k = 0, K - 1 \\ inner iter: solve (A_{k} + \frac{1 - ω}{ω} d i a g (A_{k})) x_{k + 1} = b + \frac{1 - ω}{ω} d i a g (A_{k}) x_{k} \\ end outer iter \end{aligned}

$\begin{align} & \text{outer iter: do $k=0,K-1$} \\ & \qquad \text{inner iter: solve} \quad \left( A_k + \frac{1-\omega}{\omega} \mathrm{diag}(A_k) \right) x_{k+1} = b + \frac{1-\omega}{\omega} \mathrm{diag}(A_k) x_k \\ & \text{end outer iter} \end{align}$

外环收敛时 $x_{k+1}=x_k$ 所以正在解决正确的系统。但是在您的线性情况下，您没有外部迭代（k=0 初始猜测 $x_0=0$ ) 所以你得到的解决方案

(A + \frac{1 - ω}{ω} d i a g (A)) x = b

$\begin{equation} \left( A + \frac{1-\omega}{\omega} \mathrm{diag}(A) \right) x = b \end{equation}$

这仅适用于松弛参数 $\omega=1$ .

为了证实我的猜测，尝试构建 $A$ 并减去 $\frac{1-\omega}{\omega} \mathrm{diag}(A)$ 在将其传递给线性求解器之前。
要实际使用他们的松弛方案，请尝试添加外部迭代（例如 K=10 并以 1e-2 的相对容差求解线性系统，而不是采用 K=1 并以 1e-12 的相对容差求解）

其它你可能感兴趣的问题

上一篇数值设计一个周期性的一维曲线，使积分面积目标最大化并满足值、导数和频率约束下一篇网格域分解/网格划分