计算科学 - 求解具有 TE 模式的 Neumann 边界条件的 2D 矩形波导 PDE - 吾爱随笔录

求解具有 TE 模式的 Neumann 边界条件的 2D 矩形波导 PDE

计算科学有限差分 Python

2021-12-12 02:06:32

我试图通过求解方程找到二维矩形波导的可能模式，其中将是或，具体取决于要求解的模式是 TE 还是 TM。

(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + γ^{2}) ψ = 0

$\Big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \gamma^2 \Big)\psi = 0$

ψ

$\psi$

H_{z}

$H_z$

E_{z}

$E_z$

我的方法是使用有限差分法来求解方程，从而将 PDE 转换为一组联立方程并求解特征值（）。 $\gamma$

边界条件是 Neumann，如果或，其中 x 和 y 是波导的尺寸。 $\frac{\partial \psi}{\partial n} = 0$ $x = 0, a$ $y = 0, b$

我如何在我的代码中包含这个边界条件？ $H_z = h(x,y)e^{i(kz-\omega t)}$

如果可能，请提供参考。谢谢。

1个回答

如果您考虑您的解决方案，您最终会遇到以下问题

(\nabla^{2} + γ^{2}) h (x, y) = 0 .

$(\nabla^2 + \gamma^2) h(x, y) = 0\, .$

边界条件是

\frac{\partial h (x, y)}{\partial n} = 0,

$\frac{\partial h(x, y)}{\partial n} = 0\, ,$

对于每个线段。这转化为

\begin{aligned} \frac{\partial h (x, y)}{\partial x} = 0, x = 0 or x = a, \\ \frac{\partial h (x, y)}{\partial y} = 0, y = 0 or y = b . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial h(x, y)}{\partial x} = 0\, ,\quad x = 0 \text{ or } x = a\, ,\\ \frac{\partial h(x, y)}{\partial y} = 0\, ,\quad y = 0 \text{ or } y = b\, .\\ \end{align}$

由于您使用的是有限差分法，因此这些边界条件不会自然出现。一种常见的方法是使用幻像节点，即域外的节点，来获取这些边界条件。

假设您有一个矩形网格，首先在方向枚举，然后在方向枚举。因此，在处使用关于的导数的中心有限差分，您会得到 $x$ $y$ $x$ $x=0$

\frac{u_{1, j} - u_{- 1, j}}{2 Δ x} = 0,

$\frac{u_{1, j} - u_{-1, j}}{2\Delta x} = 0\, ,$

要么

u_{- 1, j} = u_{1, j} .

$u_{-1, j} = u_{1, j}\, .$

您对其他边界执行相同操作并得到： , ,。之后，您修改您的矩阵，以使用虚拟节点以边界为中心的条目。 $u_{m+1, j} = u_{m-1, j}$ $u_{i, -1} = u_{i, 1}$ $u_{n+1, i} = u_{n-1, i}$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇如何演示求解双曲 PDE 的 FTBS 方法的收敛顺序下一篇从 Householders 反射器有效地计算投影矩阵