收敛到的系列$\ln(2)$似乎适用于Cohen-Villegas-Zagier 加速[ PDF ]。这是一种用于交替级数的加速技术，但具有正部分分子和分母的连分数等价于交替级数。

特别是，如果$S_m$是个$m$-th 连分式逼近，然后让

$$d_n=\sum_{m=1}^n \frac{n}{n+m}{n+m\choose2m}2^{2m}$$

如果满足某些条件，加速序列

$$\tilde{S}_n=\frac{1}{d_n}\sum_{m=1}^n \frac{n}{n+m}{n+m\choose2m}2^{2m} S_m$$

以速率几何收敛$5.828^{-n}$.

可以使用“即时”计算加速度系数$O(1)$存储并逐项求和加速级数，同时使用 Lentz 方法计算连分数近似值。使用$n=131$似乎足以计算$\ln(2)$到 100 位十进制数字。

然而，使用这种技术来计算其他系列，

$$\frac{1}{1+}\frac{1^3}{1+}\frac{2^3}{1+}\frac{3^3}{1+}\ldots$$

似乎没有提供几何收敛。

事实上，我怀疑这个系列可能根本不会收敛。绘制该系列的连续近似值表明偶数和奇数近似值可能接近不同的极限。

根据Gautam Gopal Krishnan的2016 连分数课程笔记中的定理 4.7，连分数$a_0 + \frac{1}{a_1+}\frac{1}{a_2+}\ldots$可以重写为一个系列：

$$a_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{q_n q_{n-1}}$$

在哪里$q_n$由定理 2.4 在相同的注释中给出

$$\begin{eqnarray*} q_0 & = & 1 \\ q_1 & = & a_1 \\ q_n & = & a_n q_{n-1} + q_{n-2} \end{eqnarray*}$$

也许该系列在您的情况下具有更好的收敛性？

免责声明：我尚未验证该定理，因此您应该对其进行数字测试以确保！如果我正确理解了 Krishnan 的符号，如果在同一位置截断，连分数和级数总是相同的$n$（该定理仅适用于有限连分数）。