计算科学 - 最小二乘参数估计问题的公式化 - 吾爱随笔录

最小二乘参数估计问题的公式化

计算科学优化颂最小二乘

2021-12-13 03:00:56

我有一个由 10 个常微分方程组成的系统，形式为，

\frac{d y_{1}}{d t} = f 1 (V 1, k 1, y 1, y 2) ⋮ \frac{d y_{10}}{d t} = f_{10} (V_{10}, k_{10}, y_{9}, y_{10})

$\frac{dy_1}{dt} = f1(V1,k1,y1,y2)\\ \vdots \\ \frac{dy_{10}}{dt} = f_{10}(V_{10},k_{10},y_{9},y_{10})$

我想使用全局拟合 $V_1 ,V_6,V_7,V_{10}$

根据文献中建议的方法，我了解最小二乘误差最小化是常用的。但是，我无法理解优化问题的实际制定方式。

成本函数 = $\Sigma_{i=1}^{10} (y_i^\text{experiment} - y_i^\text{model})^2$

其中，是从实验中获得的稳态值，而不是的时间序列数据。有人能解释一下是如何用要估计的参数来表达的吗？ $y_i^\text{experiment}$ $y_i$ $y_i^\text{model}$

Is 是微分方程，（比如说） $\frac{dy_1}{dt} = f1(V1,k1,y1,y2)$

使用泰勒多项式展开以找到？ $y_1^\text{model}$

有人可以提供一个例子吗？

1个回答

您可以将 ODE 视为参数和观测变量之间的约束。为了在优化问题中强制约束，你可以引入一个拉格朗日乘数，我们称之为。在这种情况下，您的问题的拉格朗日是 $V$ $y$ $\lambda$

L (y, λ, V) = \sum_{i} | y (t_{i}) - y_{i}^{experiment} |^{2} + \int_{0}^{T} λ \cdot (\dot{y} - f (y, V)) d t .

$L(y, \lambda, V) = \sum_i|y(t_i) - y_i^\text{experiment}|^2 + \int_0^T\lambda\cdot (\dot y - f(y, V))dt.$

然后，您将寻求拉格朗日的极值。从现在开始，对变分微积分的良好理解将变得非常重要。如果这个主题对你来说是新的，温斯托克的书是一个很好的介绍。接下来您要了解的是伴随方法。不幸的是，很多描述伴随方法的书籍和参考资料都非常混乱，但在这个论坛上已经讨论过几次了，例如这里。您可能想要搜索的另一个术语是“系统识别”，但它的维基百科文章信息量不是很大，因此您可能需要进行更多挖掘。

有一个非常好的 Python 库，用于从模型的符号定义中进行数值拟合，称为symfit。他们在这里有一个 ODE 模型的示例。

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