计算科学 - 如何反转拉格朗日多项式 - 吾爱随笔录 - 问答

如何反转拉格朗日多项式

计算科学 r 逆问题

2021-12-07 04:01:03

我正在阅读以下论文（Grezlak 和 Oosterlee），我对第 5 页上的一句话有一个具体的问题。我引用：

“自从映射 $y=g(x)$ 是双射的并且 $g(x)$ 是严格增加的，所以是 $g^{-1}(y)$ . 这意味着论点 $x$ 可以通过反插值得到 $g(x)$ 反对 $y$ ，这基本上可以免费完成。”

对于给定的点 $x_i,y_i$ 他们定义 $g$ 为拉格朗日多项式：

g (x) = \sum_{i = 1}^{N} y_{i} l_{i} (x)

$g(x) = \sum_{i=1}^Ny_il_i(x)$ 在哪里

l_{i} (x) = \prod_{j = 1, j \neq i} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

$l_i(x)=\prod_{j=1,j\not=i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ . 他们引用了一篇关于这种逆插值的论文（E. Michalup。关于逆线性插值。斯堪的纳维亚精算杂志 1950），不幸的是，它不能免费获得。我正在使用 R 并且正在浏览有关逆线性插值的网页，并找到了以下函数。然而，它似乎相当昂贵。更糟糕的是，它只需要一个数值作为输入（yval），这意味着我需要调用函数的次数与我想要计算的逆数一样多。是否有另一种方法可以做到这一点或在 R 中有更好的功能？

1个回答

在不了解反插值的情况下，这个问题应该是一个直接的数值任务，给出关于 $g(x)$ .

第一， $g(x)$ 据说是单调递增的。因此，给定 $y$ , 找到两个节点 st $g(x_i)\leq y\leq g(x_{i+1})$ [这很简单，因为一切都是有序的]。

从那里，使用任何应该快速收敛的寻根器。这种方法的缺点是您必须为每个点求解一个系统 $y$ . 你可以做些什么来加速它是添加任何评估点 $g(x)$ 在求根过程中到列表，这将减少未来迭代的次数，假设您从低次多项式开始，即小 $N$ .

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