计算科学 - 如何证明不连续伽辽金的强公式是保守的？ - 吾爱随笔录

计算科学流体动力学不连续-galerkin

2021-12-07 04:47:56

我一直在试图弄清楚如何证明以下等式是保守的

\int_{D^{k}} \partial_{t} (u^{k}) v_{j}^{k} + \partial_{x} (f) v_{j}^{k} d x = [(f - f^{*}) v_{j}^{k}]_{x^{k}}^{x^{k + 1}}

$\int_{D^k} \partial_t(u^k) v_j^k + \partial_x(f) v_j^k dx = [(f -f^*) v^k_j]_{x^k}^{x^{k+1}}$

其中是元素的测试函数，是通量，是数值通量。 $v_j^k$ $k$ $f$ $f^*$

谁能指出我的一些参考？

2个回答

你写的东西被认为是 DG 的“强形式”。如果你按部分整合空间项并重新排列，你会得到取然后给出这是对守恒的重申——元素的量的变化等于流入量减去流出量。

\int_{D^{k}} (\partial_{t} (u^{k}) v^{k} - f \partial_{x} (v^{k})) d x = - [f^{*} v^{k}]_{x^{k}}^{x^{k + 1}} = 0.

$\int_{D^k} \left(\partial_t(u^k)v^k - f \partial_x(v^k)\right) dx = -[f^* v^k]_{x^k}^{x^{k+1}} = 0.$

v = 1

$v = 1$

\int_{D^{k}} \partial_{t} (u^{k}) d x = f^{*} (x^{k}) - f^{*} (x^{k + 1}) .

$\int_{D^k} \partial_t(u^k) dx = f^*(x^{k})-f^*(x^{k+1}).$

u^{k}

$u^k$

D^{k}

$D^k$

DG 近似的强弱形式是等价近似（本文给出了完整的细节和分析）。正如 JLC 所指出的，可以从弱形式明确地看到 DG 近似的守恒，然后通过等价，强形式的守恒如下。一维的情况相对简单，但在更高维的情况下，必须关注近似值的映射。

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