我想找到一个标量函数的轮廓，它可以作为一组离散的函数值在分散的点集 . 在我的例子中，分散数据来自使用 RBF 有限差分法对 PDE 的数值解，但是任何类型的分散数据的插值同样相关。$u(x,y)$$u_i = u(x_i,y_i)$$(x_i,y_i), i=1,...,N$

在一个相关线程中，建议首先对分散的点进行三角剖分，然后使用常见的轮廓算法，例如2D 中的行进三角形。虽然这是一种经过测试的方法，但构建三角剖分破坏了 RBF-FD 方法的主要优势之一，这正是它可以避免多边形网格的事实。该线程中的一个答案表明 RBF 方法可以更好地工作。

除了点坐标和函数值之外，假设我还有大小为的 RBF-FD 模板的邻接图，以及 RBF-FD 微分权重：$s$$w_i$

$$L(u(\boldsymbol{x}))|_{\boldsymbol{x}_c=\boldsymbol{x}_1} \approx \sum_{j=1}^s w_j u_j$$

它们以某种方式构造，它们可以为各种（线性）空间微分算子$\partial_x, \partial_y, ...$提供近似值。

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回到最初的问题，寻找轮廓水平$h$可以重铸为寻找隐函​​数的水平集（零轮廓），

$$\phi(x,y) = u(x,y) - h = 0,$$ 可以看作是一个带符号的类距离函数（除了它并没有真正返回距离的事实）。

给定轮廓附近点的一些初始猜测$\boldsymbol{p} = (p_x, p_y)$$\Delta\boldsymbol{p}$使得

$$\phi(\boldsymbol{p} + \Delta\boldsymbol{p}) = 0, \\ \Delta \boldsymbol{p} \,|| \, \nabla\phi(\boldsymbol{p}+\Delta \boldsymbol{p}),$$

其中投影与投影点处的梯度正交。在Per-Olof Persson的论文（第 47-48 页）中，使用拉格朗日乘数和截断的泰勒展开式找到了投影的一阶近似。近似投影公式为

$$\Delta \boldsymbol{p} = \frac{\phi}{|\nabla \phi|^2} \nabla \phi.$$

下图显示了一个近似投影结果的示例。首先，我通过寻找模板来识别轮廓附近的散点，其中的符号发生了变化。使用 RBF-FD 空间算子构造梯度，我可以将附近的点投影到目标轮廓：$\phi$$\nabla = (\partial_x, \partial_y)$

我现在缺少的是一种将投影点连接到单个轮廓的可靠方法。他们是否可以使用一些图形方法（构建最短路径）？

鉴于行进方阵算法，我也预计在鞍点附近寻路将有消歧困难。他们有什么方法可以检测到这样的鞍区，如果是的话，如何使寻路变得稳健？