计算科学 - Remez算法有理情况的线性化 - 吾爱随笔录

计算科学数字浮点近似回归

2021-12-27 05:56:35

在理性的情况下，我们有兴趣找到多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 英石 $f(x_k)-P(x_k)/Q(x_k)=(-1)^kE$ 为了 $k=1,2,\ldots, N$ 在哪里 $N=deg(P)+deg(Q)+2$

这可以重写为

(1) (f (x_{k}) - (- 1)^{k} E) Q (x_{k}) - P (x_{k}) = 0

$(1)~~~~~~(f(x_k)-(-1)^kE)Q(x_k)-P(x_k)=0$

等式(1)是非线性的。本文档中的注释建议使用方程组的以下变体进行线性化 (1)。

(2) ((- 1)^{k} E_{0} - f (x_{k})) \sum_{i = 1}^{q} b_{i} x_{k}^{i} + \sum_{i = 1}^{p} a_{i} x_{k}^{i} + (- 1)^{k} E = f (x_{k})

$(2)~~~~~~((-1)^k E_0 - f(x_k))\sum_{i=1}^{q}b_i x_k^i+\sum_{i=1}^{p}a_i x_k^i + (-1)^kE=f(x_k)$

它似乎与（1）完全不同。上面的（2）是对（1）的正确解释吗？这是如何从定义中得出的？哪里额外 $f(x_k)$ 和 $(-1)^kE$ 来自？

1个回答

我发现这是弗雷泽和哈特的 Remez 算法的变体。

让我们固定常数项 $Q(x_k)$ 到 $1$ ：

f (x_{k}) - \frac{\sum_{i = 0}^{p} a_{i} x_{k}^{i}}{\sum_{i = 1}^{q} b_{i} x_{k}^{i} + 1} = (- 1)^{k} E

$f(x_k) - \frac{\sum_{i=0}^{p}a_i x_k^i}{\sum_{i=1}^{q}b_i x_k^i + 1}=(-1)^kE$

我们从中获得

f (x_{k}) + f (x_{k}) \sum_{i = 1}^{q} b_{i} x_{k}^{i} - \sum_{i = 0}^{p} a_{i} x_{k}^{i} = (- 1)^{k} E \sum_{i = 1}^{q} b_{i} x_{k}^{i} + (- 1)^{k} E

$f(x_k) + f(x_k)\sum_{i=1}^{q}b_i x_k^i - \sum_{i=0}^{p}a_i x_k^i=(-1)^kE\sum_{i=1}^{q}b_i x_k^i + (-1)^kE$

重组，我们得到

(*) ((- 1)^{k} E - f (x_{k})) \sum_{i = 1}^{q} b_{i} x_{k}^{i} + \sum_{i = 0}^{p} a_{i} x_{k}^{i} + (- 1)^{k} E = f (x_{k})

$(*)~~~~~~~\left((-1)^kE- f(x_k)\right)\sum_{i=1}^{q}b_i x_k^i + \sum_{i=0}^{p}a_i x_k^i + (-1)^kE = f(x_k)$

既然我们不知道 $E$ , $(*)$ 不是线性的。Fraser 和 Hart 的方法是进行初步猜测 $E_0$ 以便 $(*)$ 变成 $(2)$ 这是一个线性系统。

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