计算科学 - 勒让德扩展r ( x ) = f( x ) /克( × )r(x)=f(x)/g(x)使用有限数量的样本F( × )f(x)和G( × )g(x) - 吾爱随笔录

勒让德扩展r ( x ) = f( x ) /克( × )r(x)=f(x)/g(x)使用有限数量的样本F( × )f(x)和G( × )g(x)

计算科学数值分析统计数据多项式

2021-12-26 07:10:55

我有两组有限的事件 $\{x_1, ..., x_N\}$ 和 $\{y_1, ..., y_N\}$ 从 PDF 中采样的 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，分别在哪里 $x \in [-1,+1]$ . 我想估计勒让德展开 $r(x) = f(x)/g(x)$ 使用这些事件。最好的方法是什么？（注意 $g(x)\neq0$ 超过 $[-1,1]$ )

1个回答

我相信你在问如何计算

\frac{f (x)}{g (x)} \approx \sum_{n = 0}^{p} a_{n} P_{n} (x) .

$\frac{f(x)}{g(x)}\approx\sum_{n=0}^p a_n P_n(x).$

你可以插入你的样本 $f$ 和 $g$ 到一个统一的网格上 $[-1,1]$ ，计算每个点的比率，然后使用梯形规则计算积分

\int_{- 1}^{1} P_{n} (x) \frac{f (x)}{g (x)} d x \approx \sum_{j} w_{j} P_{n} (x_{j}) \frac{f (x_{j})}{g (x_{j})},

$\int_{-1}^1 P_n(x) \frac{f(x)}{g(x)} dx \approx \sum_j w_j P_n(x_j)\frac{f(x_j)}{g(x_j)},$

在哪里 $\{w_j,x_j\}$ 分别代表正交权重和横坐标。鉴于我不知道功能是什么 $f,g$ 表现得像，除了这种方法的准确性之外，我不能说太多，如果它应该没问题 $f/g$ 是光滑的。

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