假设我有一个大而稀疏的，$m \times n$矩阵$A$， 和$m \gt n$和$\text{rank}(A) = n$. 我想解决$Ax=b$.

假设我知道$A$具有以下特点：

• $A$有点对角占优势（它可能有一些边带从主对角线偏移很多，并且几行不适合带结构）。
• $A$不是对称的。
• $A$不是正定的。
• $rank(A) = n$ （存在一个独特的解决方案！）。
• $\text{cond}(A^T A)$相当高：$10^{\gt 20}$.
• $m$仅略大于$n$.

假设我需要一个部分的精度$10^{\gt 9}$，或大约 9 位精度。

这个独特的问题既不是欠定也不是超定，而是涉及一个矩形矩阵。它不在最小二乘或最小长度的范围内。这限制了哪些方法适合解决它。

我知道我可以使用高斯消除、SVD（投影到零空间的正交补码）或其他一些方法。我也知道其他几种方法（例如 LU 分解）需要一个方阵，所以它们可以用来解决$\left(A^T A\right) x = A^T b$，虽然我担心高条件数$A^T A$这些方法将是禁止的。

什么方法适合求解这个方程组，它们的相对优点/缺点是什么？

特别是：

• 哪种方法最适合高条件数？
• 哪种方法提供最好的准确性？
• 哪种方法最快/最有效？