计算科学 - 平面上一点的闭式解 - 吾爱随笔录

平面上一点的闭式解

计算科学计算几何几何学

2021-12-13 08:51:31

给定 3D 欧几里得空间中的平面是 $\pi$ ： $ax+by+cz+d=0$ 和一点 $P$ ： $(X,Y,Z)\in \mathbb{R}^3$ .

找一个点 $Q:(X^*,Y^*,Z^*)\in \pi$ 这样：

Q = \arg min_{Q^{*} \in π} ‖ P - Q ‖

$Q= \arg\min\limits_{Q^*\in\pi}\left\|P-Q\right\|$

很难找到 $Q$ 的封闭形式解决方案吗？

1个回答

给定一个平面，不失一般性，设，则齐次矩阵中的正交投影 $\pi: (a,b,c,d)$ $a^2+b^2+c^2=1$ $\pi$

T = (\begin{array}{cccc} 1 - a^{2} & - a b & - a c & - a c \\ - a b & 1 - b^{2} & - b c & - b c \\ - a c & - b c & 1 - c^{2} & - c^{2} \end{array})

$T=\left( \begin{array}{cccc} 1-a^2 & -a b & -a c & -a c \\ -a b & 1-b^2 & -b c & -b c \\ -a c & -b c & 1-c^2 & -c^2 \\ \end{array} \right)$

如果，则所需点为： $P=(x,y,z,1)^T$ $Q=T\cdot P$

{\begin{matrix} (1 - a^{2}) x - a b y - a c z - a c \\ - a b x + (1 - b^{2}) y - b c z - b c \\ - a x c - b c y + (1 - c^{2}) z - c^{2} \end{matrix}

$\left\{\quad \begin{array}{c} \left(1-a^2\right) x-a b y-ac z -a c\\ -a b x+\left(1-b^2\right) y -b c z-b c\\ -a x c-b cy+\left(1-c^2\right) z -c^2\\ \end{array} \right.$

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