给定一个能级，我正在寻找与圆环上与时间无关的薛定谔算子相对应的特征向量（即周期性边界条件）——对于一些不错的，有限的潜力-- 其特征值最接近.
我想知道是否有一些标准技术可以解决这个特定问题，在哪里可以相当小，比如说.
我目前的方法是天真的方法（根据我的估计）：我使用 DFT 转换为相空间，从而可以计算映射, 然后对矩阵使用标准的 Krylov 方法，其中对应于该逆的映射是使用双共轭梯度计算的。
这种方法有几个关键问题。第一个是非常小，因此对于某些能级，我必须将 DFT 使用到非常高的频率才能获得准确的离散化，但这意味着是一个都大（大于) 和密集，所以 Krylov 方法仍然相当昂贵，特别是因为在每次 Arnoldi 迭代中我都必须进行全套 CG 迭代。
还有其他我应该尝试的标准方法吗？我会很感激任何建议。即使这是显而易见的事情，我可能还没有想到它，因为我不太精通数值特征值问题，尤其是在微分算子的情况下。
首先是一个问题：您使用什么程序来执行矩阵的特征分解？
与其在相空间中寻找答案，不如在物理空间中考虑您的问题。在这种情况下，您可以使用标准的有限差分公式来近似在每个点上，然后形成一个对应于该系统的矩阵，等等。
这样做的原因是生成的矩阵是稀疏的，因此计算矩阵向量乘积的算术较少。如果您正在查看高频，则需要很多点来解决它们，因此您的系统将是高维度的；稀疏真的在这里拯救了你。Matlab 和 Scipy 都具有内置的稀疏矩阵数据类型，您必须使用它们才能利用这一点。
您还提到了使用 Arnoldi 流程。使用 Lanczos 过程会更快，因为您的问题是对称的。如果您使用的程序足够聪明，可以检测到您的矩阵是对称的并采取相应措施，那么您不必担心这一点，但如果您明确选择了 Arnoldi，那么您可能会在求解上 Hessenberg 系统时做不必要的工作。三对角系统。尽管如此，您仍然会找到最接近运算符零的特征值——至少不会改变。
我还要向你指出这个线程作为一个警告：本征求解器可能会给出错误的结果，如果你将结果解释为描述量子系统，那么这种结果是非常不物理的。长话短说，不要寻找矩阵的整个频谱，只寻找前几个特征值。听起来这就是你正在做的事情。