计算科学 - 用有限体积法求解一组混合保守/非保守方程 - 吾爱随笔录

我想在球坐标中求解这组这种形式的二维平流扩散方程：

\frac{\partial f}{\partial t} = - u \cdot \nabla f + η \nabla^{2} f + η_{1} (e_{1} \cdot \nabla) (e_{1} \cdot \nabla) f + η_{2} (e_{2} \cdot \nabla) (e_{2} \cdot \nabla) f + s_{f} (g)

$\frac{\partial f}{\partial t}=-\mathbf{u}\cdot\nabla f+\eta\nabla^2f+\eta_1(\mathbf{e}_1\cdot\nabla)(\mathbf{e}_1\cdot\nabla)f+\eta_2(\mathbf{e}_2\cdot\nabla)(\mathbf{e}_2\cdot\nabla)f+s_f(g)$

\frac{\partial g}{\partial t} = - \nabla \cdot (u g) + \nabla \cdot (η \nabla g) + \nabla \cdot (η_{1} e_{1} e_{1} \cdot \nabla g) + \nabla \cdot (η_{2} e_{2} e_{2} \cdot \nabla g) + \nabla \cdot h (f) + s_{g} (g)

$\frac{\partial g}{\partial t}=-\nabla\cdot(\mathbf{u}g)+\nabla\cdot(\eta\nabla g)+\nabla\cdot(\eta_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\cdot\nabla g)+\nabla\cdot(\eta_2\mathbf{e}_2\mathbf{e}_2\cdot\nabla g)+\nabla\cdot h(f)+s_g(g)$ 其中是与球坐标中的单位矢量不平行的单位矢量。大多数项以非线性方式取决于和或，因此需要显式算法。

e

$\mathbf{e}$

f

$f$

g

$g$

我在考虑有限体积，因为等式中的大多数项都是保守形式，但对于的等式，它们都不是。我的意思是，我想我无论如何都可以做到，所以我的问题是：有没有办法在这里最大限度地利用有限体积方法？如果两个方程都不是保守形式，我怀疑我会失去将另一个方程采用这种形式的很多优点？我认为通过编写摆脱 f 的一个导数顺序可能是有利的（这也适用于方向梯度，因为）：或者有限体积甚至是这里的首选方法？ $g$ $f$ $\nabla\cdot\mathbf{e}=0$

η \nabla^{2} f = \nabla \cdot (η \nabla f) - \nabla η \cdot \nabla f .

$\eta\nabla^2f=\nabla\cdot(\eta\nabla f)-\nabla\eta\cdot\nabla f.$