让我们回顾一下你想做的事情：你有一些集合并且想要近似一些函数的积分： “均值法”听起来像蒙特卡罗类型的近似，形式为 其中是独立同分布的。上具有均匀分布的随机变量是 V 的。$V \subset \mathbb{R}^5$$f\colon V \to \mathbb{R}$

$$\int_V f(x) \,\mathrm{d}x$$ $$\int_V f(x) \,\mathrm{d}x \approx \frac{\operatorname{vol}(V)}{N} \sum_{i=1}^N f(X_i),$$ $X_i$$V$$\operatorname{vol}(V)$$V$

这种普通蒙特卡罗方法的问题在于，根据函数，大多数样本不会对积分做出贡献，因为。在重要性采样中，想法是从适应形状的分布中采样，而不是从中均匀采样。$f$$f(X_i) \approx 0$$f$$V$

为此，设上概率分布的密度。我们近似 其中是独立同分布的。从中抽取的随机变量。$p\colon V \to [0, \infty)$$P$$V$

$$\int_V f(x) \,\mathrm{d}x = \int_V f(x) \frac{p(x)}{p(x)} \,\mathrm{d}x = \int_V \frac{f(x)}{p(x)} \,\mathrm{d}P(x) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{f(Y_i)}{p(Y_i)},$$ $Y_i$$P$

正如您所提到的，我们可以通过使用反转采样从 P 中精确地从。这只有在我们可以反转分布的累积分布函数时才有效。$Y_i$$P$

在多个维度中，有几种方法可以从给定的分布中提取：

• 拒绝抽样，
• 吉布斯采样（如果我们可以有效地从一维条件中提取），
• 马尔可夫链蒙特卡罗（一般只提供渐近正确的样本，但可以直接应用于积分问题而无需重要性采样绕道），
• 多一点。

为了选择一种方法，我们需要更多关于实际分布的信息。是否有一些可以利用的结构（例如，高斯混合）？