我正在尝试使用有限差分方案求解以下耦合偏微分方程：

$$\partial_tf+v\partial_zf+\partial_z\frac{1}{W}\partial_zf=0$$ $$\partial_tW+v\partial_zW-\partial_zf=0,$$

其中 f 和 W 都取决于 t 和 z。为了同时求解两个方程，我尝试使用矢量符号。然而，第一个方程中的扩散项是非线性的。我怎样才能线性化这个？

背景：

我之前已经在一个半隐式的方案中一个接一个地解决了它们，使用一个方程的结果在另一个方程中。然而，这是明确的并且需要非常小的时间步长，使得程序变慢才能有用。

现在的基本思想是以向量/矩阵形式编写它们并同时求解它们 - 再次使用有限差分。这要求方程的形式为：

$$\begin{array}{c} f \\ W \end{array}=\vec{f}$$

$$\partial_t\vec{f}=\textbf{C}_0\vec{f}+\textbf{C}_z\partial_z\vec{f}+\textbf{C}_{zz}\partial_{z}^2\vec{f},$$

所有矩阵在哪里$\textbf{C}$独立于$\vec{f}$.

完整的问题包括在 LOD 中处理的附加维度和在$v$和$W$. 因此，我不希望标准 ODE 求解器能够工作。

有没有办法（替代或其他）使这成为可能？