计算科学 - 评估积分F(r2) =1rn2∫r20rn1F(r1) d r1F(r2)=1r2n∫0r2r1nf(r1) dr1不增加不稳定性 - 吾爱随笔录

我将以下表达式以数字方式集成到基于向量的库（例如 numpy、MATLAB 等）中，

F (r_{2}) = \frac{1}{r_{2}^{n}} \int_{0}^{r_{2}} r_{1}^{n} f (r_{1}) d r_{1},

$F(r_2) = \frac{1}{r_2^n} \int_0^{r_2} r_1^n f(r_1)\ \mathrm{d}r_1,$ 在哪里

n

$n$ 是一个整数，其值可达

40

$40$ 和

r_{1}

$r_1$ 和

r_{2}

$r_2$ 可以有许多数量级的值（例如

r_{2} \in [10^{- 10}, 10^{4}]

$r_2 \in [10^{-10},10^4]$ ）。

问题是，我使用的数值积分方法引入了轻微的数值不稳定性，这使得积分结果 $\lim_{r_2\rightarrow 0}\int_0^{r_2}r_1^n f(r_1)\mathrm{d}r_1$ 不完全是，而是大约。因此，当积分结果除以其中时，的结果变得非常大。 $0$ $10^{-13}$ $r_2^n\sim10^{-10n}$ $n \geq 3$ $F(r_2\rightarrow 0)$

我正在寻找一种方法来允许的乘法发生在积分之前，因此数值不稳定性不会增加，或者任何阻止积分的数值不稳定性变得非常大的东西。 $r_1^n/r_2^n$

问题是：如何在不增加数值不稳定性的情况下使用 numpy、MATLAB 或任何基于向量的库对上述表达式进行数值积分？

PS：如果可能，我会避免使用 for 循环，因为我使用 Python 编程并且 for 循环可能非常慢。