我正在尝试解决寻找弹性材料在外力作用下的位移的问题。这些外力本身就是材料位移的非线性函数。

第一步是根据位移定义能量的泛函。解决方案是通过足够平滑的函数最小化该函数的位移。

从这个泛函中，可以导出欧拉-拉格朗日方程，该方程必须由解满足。这些方程是一个椭圆 PDE 系统。

在实践中要解决这个问题，就需要进行离散化。这可以直接对泛函进行，以便空间域上的拉格朗日积分变为空间网格上的和，并将空间导数适当地转换为有限差分。问题是最小化总和，这通常是非凸的。另一种方法是离散欧拉-拉格朗日方程，这会产生一个大型非线性方程组。泛函包含位移的四阶多项式项，而欧拉-拉格朗日方程具有位移的三阶多项式项。问题没有不连续性。

我的问题是关于这两种方法的相对优缺点。我一直在努力解决第二个问题，即解决大型非线性系统，但我似乎无法取得进展。我有一个雅可比行列式的解析表达式，并且我可以确保我有一个很好的初始猜测，因为它“接近”由差异的范数衡量的解决方案，但我不能保证，例如，牛顿法将从这个初始猜测收敛。我尝试了一些简单的全球化策略，例如参数化延续、伪瞬态延续和一些特别的正则化。没有续延的牛顿方法的问题在于，它似乎总能找到雅可比行列式变得奇异的点。参数化延续似乎避免了这种情况，但牛顿迭代停滞不前。像 L-BFGS 这样的准牛顿方法在某一点上工作得很好，然后灾难性地失败了，在一次迭代中残差范数大量增加。

我没有尝试将问题重铸为最小化，原因有两个 - 首先，我不明白解决非线性 PDE 有什么优势，其次，我必须在早期进行大量离散化计算步。我意识到这个问题可能有点含糊，但我非常感谢任何指导 - 谢谢！

编辑：我会尝试提供更多信息。我可以看到将能量泛函离散化并将问题作为最小化来解决的一个优点是 Hessian 矩阵是对称的。这与欧拉-拉格朗日方程的离散化形成对比，后者的雅可比不是对称的。在这两种方法中，Hessian/Jacobian 都不是正定的。正如 Nocedal 和 Wright 中所讨论的那样，应该可以计算一个可以添加到对角线上以形成正定矩阵的值，但我不确定如何实际实现它。我想这个想法是在不改变函数本身的情况下对雅可比进行正定近似。

编辑 2：关于为什么我似乎遇到这么多麻烦的另一个想法是，因为我的外部数据来自笛卡尔网格，所以我使用的是有限差分而不是有限元。我意识到绝大多数弹性工作都使用有限元，但我还没有看到关于收敛性优势的明确讨论。我在 27 点模具上使用居中差异运算符。边界条件是齐次狄利克雷。