定义$S\in\mathbb{R}^{n\times n}$作为

$$S:=H+Q^\top V^{-1} Q.$$ $H,V$是半正定的。这里，$H$,$Q$， 和$V$是大而密集的矩阵，但它们是结构化的：我可以为矩阵向量产品编写代码（例如$x\mapsto Hx$) 但计算$V^{-1}$或地图$x\mapsto V^{-1}x$需要迭代。

给定一个稀疏的、对称的、正定矩阵$M$, 什么是最好的方法来找到$k$的最小特征值$S$令人满意的$Sx=\lambda Mx$?

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注意这个问题等价于扩展的广义特征值问题

$$\begin{pmatrix} H &Q^\top\\Q & -V \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} M & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix},$$ 在哪里$z$是辅助变量。这很好，因为它是对称的并且不包含$V^{-1}$，所以我希望将机器用于广义特征值。但是这个广义问题的右手边是不可逆的，这似乎阻止了使用通常的特征值迭代。