计算科学 - 自治 ODE 的离散周期解中的秩亏雅可比行列式 - 吾爱随笔录

我试图在数值上找到不同系统的自治非线性常微分方程的周期解。我决定使用有限差分方案并迭代求解得到的方程组，使用足够好的初始猜测可以很好地工作。

现在考虑的大多数系统都依赖于一个附加参数 $\lambda$ , 有一个解决方案在极限 $\lambda\to 0$ 很容易找到，所以我想使用某种数值延续方法来为不同的值生成一系列解决方案 $\lambda$ . 我在该主题上找到的所有文献，例如http://dx.doi.org/10.1137/1.9780898719154都假设雅可比矩阵具有满秩，但在我的情况下却没有：有一个零特征值对应于原始 ODE 系统解的参数化。

ODE 通常看起来像

\ddot{x} = - \sqrt{{\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}} f (x, y, λ) \dot{y}, \ddot{y} = \sqrt{{\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}} f (x, y, λ) \dot{x},

$\ddot{x} = - \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\ f(x, y, \lambda)\ \dot{y},\\ \ddot{y} = \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\ f(x, y,\lambda)\ \dot{x},$ 有约束

x (0) = x (1)

$x(0) = x(1)$ ,

y (0) = y (1)

$y(0) = y(1)$ .

有没有

以某种方式修复解决方案的参数化以消除这种自由度的好方法或
一种适用于秩不足的雅可比行列式的数值延续方法？