计算科学 - Runge-Kutta，所有节点为 n+1 或零权重 - 吾爱随笔录

计算科学参考请求

2021-12-16 17:02:48

所以，让我们说一下显式龙格-库塔方法族：

y_{n + 1} = y_{n} + \sum_{i = 1}^{s} b_{i} k_{i}

$y_{n+1} = y_n + \sum_{i=1}^s b_i k_i$

其中，

k_{1} = h f (t_{n}, y_{n})

$k_1 = hf(t_n, y_n)$

k_{2} = h f (t_{n} + c_{2} h, y_{n} + a_{21} k_{1})

$k_2 = hf(t_n+c_2h, y_n+a_{21}k_1)$

⋮

$\vdots$

k_{s} = h f (t_{n} + c_{s} h, y_{n} + a_{s 1} k_{1} + a_{s 2} k_{2} + \dots + a_{s, s - 1} k_{s - 1})

$k_s = hf(t_n+c_sh, y_n+a_{s1}k_1+a_{s2}k_2+\cdots+a_{s,s-1}k_{s-1})$

是否存在任何高阶 Runge-Kutta 方案（最好超过 3 阶），其中所有节点都在对于或如果那么这个节点上的权重应该为零？ $c_i=1,$ $i=2,...,s$ $c_m\neq{1},m=2...s$ $(b_m=0)$

2个回答

以下是方法具有顺序的必要（尽管不是充分）条件： $p$

\sum_{i = 1}^{s} b_{i} c_{i}^{k - 1} = \frac{1}{k}, k = 1, 2, \dots, p .

$\sum_{i=1}^s b_i c_i^{k-1} = \frac{1}{k}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k=1,2,\dots,p.$

，具有您指定的属性的方法将具有， $k>1$

\sum_{i = 1}^{s} b_{i} c_{i}^{k - 1} = \sum_{i \notin J}^{s} b_{i}

$\sum_{i=1}^s b_i c_i^{k-1} = \sum_{i\notin J}^s b_i$

其中右侧的总和与无关（这里是的索引集）。为了达到三阶，这个总和必须等于和。所以这样的方法最多可以有两个顺序。 $k$ $J$ $c_i=0$ $1/2$ $1/3$

请注意，这实际上是关于正交规则的陈述（比关于 Runge-Kutta 方法的陈述更笼统）。

你能给我一个参考，你可以在哪里找到这些条件来实现订单 p？我不确定它是否对所有方法都有效。例如，经典的 RK4 方法

b_{1} = 0, b 2 = 0.5, b_{3} = 0.5, b_{4} = 1, a n d c_{1} = 1 / 6, c_{2} = 1 / 3, c_{3} = 1 / 3, c_{4} = 1 / 6

$b_1=0,\,b2=0.5,\,b_3=0.5,\,b_4=1,\,and\,c_1=1/6,\,c_2=1/3,\,c_3=1/3,\,c_4=1/6$ 那么如果你评估

k = 4

$k=4$ （因为它的四阶）你提到的上述表达式给出：

\sum_{i = 1}^{s} b_{i} c_{i}^{k - 1} = \frac{1}{2} \neq 1 / 4

$\sum_{i=1}^s b_i c_i^{k-1} = \frac{1}{2} \neq 1/4$

所以，没有办法例如采取 $b_1=0, b_2 = b_3 = b_4 = 1.0$ 并找到合适的 $c_i$ 为了获得四阶精度？

谢谢。

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