一开始我还以为尼古拉斯的回答是对的，然后又看了看这个问题。

对于二次规划 (QP)，$A$按照惯例是对称的，并且可以重新表达它，因此不失一般性，假设$A$是对称的。

如果$A$也是半正定的，则​​局部最优是全局最优，并且 Nicolas 引用的 KKT 条件对于找到全局最优是必要和充分的，因为这种特殊情况下的约束是线性的。

Nicolas 在以下情况下的回答的反例$A$是半正定的，可以通过设置来构造$b = 0$, 并设置$B$和$A$这样的零空间$B$对应于特征空间$A$特征值为零。例如，设置

$$\begin{align} A = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right], \\ B = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\end{array}\right], \end{align}$$

所以问题变得最小化$x_{2}^{2}$这样$x_{1} = 0$. 然后问题有无限数量的最优解（任何有序对，使得$x_{2} = 0$)，Nicolas 构造的 KKT 矩阵的形式为

$$\begin{align} K = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], \end{align}$$

在哪里$K$显然是等级不足的。（琐碎的反例也会出现在$B$不是满秩。）

如果$A$不是半正定的，则​​问题不再是凸的。KKT 条件仍然是必要的，但不是充分的。

一般来说，凸情况下的 QP 求解器是高效且稳健的，所以我会为这种情况使用一个库。非凸情况是 NP 难的，但仍然有非常好的求解器可用，例如 CPLEX，它为学术界提供免费许可证。

写拉格朗日算子会产生以下最优条件

$B x^* =0$ 和 $A x^* + b +A^T\lambda^*=0$.

改写为矩阵形式，我们有

$$\begin{align} \underbrace{\begin{bmatrix} A&B^T \\B &0 \end{bmatrix}}_{=:K}\begin{bmatrix} x \\ \lambda\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -b \\ 0\end{bmatrix}. \end{align}$$

如果$K$是非奇异的，那么你有一个独特的，最优的对$(x^*,\lambda^*)$. 否则二次优化问题是无界的或不可行的。

具有线性等式约束的二次优化问题很容易解决，并且是一个标准问题。Nicolas 已经给出了正确的答案，但我想指出，您会发现每个关于优化的教科书都讨论过这个问题。我最喜欢的是 Nocedal 和 Wright 的“数值优化”。