计算科学 - 识别线性相关向量的 Gram-Schmidt 方法 - 吾爱随笔录

识别线性相关向量的 Gram-Schmidt 方法

计算科学线性代数矩阵基组

2021-12-13 17:18:29

正交化一组向量（相互正交的单位长度向量）的方法是 Gram-Schmidt 过程： http ://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process

请注意，嵌套的 for循环意味着区别在于向量 $v_i$ 和向量 $\{v_1, \dots, v_{i-1}\}$ .

但是，我想知道在输入向量集线性相关的情况下该过程的行为。即，假设过程在向量上初始化 $\{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\}$ . 如果 $v_4$ 可以表示为的线性组合 $\{v_1, v_2, v_3\}$ ，该过程将设置 $v_4=0_n$ （即零向量）。

现在假设 $v_2$ 可以表示为的线性组合 $\{v_3, v_4, v_5\}$ . 向量的这种排序是否意味着 Gram-Schmidt 过程将无法设置 $v_2=0_n$ （未能报告线性相关性）？如果是这样，确保 Gram-Schmidt 产生正交向量并报告线性相关向量的常用方法是什么？

2个回答

如果 $v_2$ 可以表示为的线性组合 $\{ v_3, v_4, v_5 \}$ ，但不是这些向量的子集，然后，例如， $v_5$ 是在线性跨度 $\{ v_2, v_3, v_4 \}$ . 所以你的算法可能会映射 $v_5$ 到 $0$ .

通常，如果您将 Gram-Schmidt 过程应用于 $v_i$ , $1 \leq i \leq L$ , 一个向量 $v_k$ 映射到 $0$ 如果它在线性范围内 $v_1, \dots, v_{k-1}$ ，在这种情况下，您可能会从进一步考虑中删除它。最终，您的算法将产生一个正交基 $\{ w_1, \dots, w_l \}$ 的线性跨度 $\{ v_1, \dots, v_L \}$ , $l \leq L$

当然，这只适用于舍入误差。此外，您可能会使用稳定的 Gram-Schmidt 过程。一个有趣的后续问题是何时应将向量视为数字 $0$ .

虽然它没有回答您的明确问题，但我提供以下重要评论，可能会回答问题背后的意图。

如果使用标准 Householder 计算正交化，则可以避免 Gram-Scmidt 过程在依赖情况下的异常 $QR$ 因式分解（或在稀疏情况下为 Givens 变体）。后者也更加稳定，因此通常是首选方法。然后依赖关系简单地通过一个或多个零（或在有限精度算术中）微小的对角线条目反映 $R$ . 列旋转有助于将这些微小的条目移向底部 $R$ .

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