我建议使用 PETSc，它具有 GMRES、bi Conjugate Gradient 等并行求解器。还可以使用多个预处理器。此外，还可能有 SNES 非线性求解器的选项。至于哪一组求解器+预处理器组合效果最好，它可能是特定于问题的。PETSc 将允许您轻松地在它们之间切换。

您可能还希望考虑使用 FEniCS+PETSc。使用 FEniCS，您可以指定方程的弱形式，它会计算出如何为您组装矩阵。FEniCS 与 PETSc 求解器连接以进行计算。事实上，对“petsc euler equations”的简单谷歌搜索会产生以下链接：http ://www.csc.kth.se/~jjan/transfer/reportMHAF.pdf 。在附录中，您可以看到 FEniCS 源代码来执行线性化欧拉方程（以及不可压缩的 Navier Stokes 方程）。

我为稀疏矩阵使用了两个非常好的并行库：Hypre和MUMPS。第一个具有非常好的 AMG 求解器和几种迭代方法，它可以与共享 (OpenMP) 或分布式内存 (MPI) 并行运行。第二个实现直接LU分解。

如何求解稀疏线性系统的问题在计算科学中无处不在。一般来说，方法越好，实施起来就越困难和复杂。我怀疑 AMG（代数多重网格）将是解决您描述的问题的最佳方法，因为多重网格方法是目前解决线性系统最快的方法之一。但是，如果您自己实现它，它将比您当前的 GS 困难得多（尤其是并行）。如果您只是在寻找一个包裹，那么我会使用基里尔的答案。至少我会按照上面的建议甚至 SOR 研究 GMRES 或 BiCGStab。您绝对可以找到比 GS 更快的方法。