计算科学 - 在有限元法上施加压力变化而不是狄利克雷边界条件 - 吾爱随笔录

在有限元法上施加压力变化而不是狄利克雷边界条件

计算科学有限元流体动力学数字

2021-12-11 19:10:00

我总是看到有限元代码用 Dirichlet 或 Neumann 边界条件求解 PDE。但是，我现在有一个问题，它由一个带有圆形底座的直圆柱体（一个简单的 3D 管）组成，流入和流出由压力变化给出（例如， $p_\textrm{inflow}=20$ 在左侧圆形“帽”和 $p_\textrm{outflow}=0$ 在右侧圆形“帽”处，并且在既不是流入也不是流出的边界处速度为零（因此，由于压力变化，流动通过流入圆形侧进入并通过流出圆形侧流出）。

我正在求解流体的 Navier--Stokes 方程（我认为这不是重要数据）：

$u_t-\nu\Delta u+(\nabla u)u+\nabla p=f$ 在边界域 $\Omega$

$\nabla\cdot u=0$ 在 $\Omega$

所以我的未知数是速度 $u$ 和压力 $p$ . 重力的影响被忽略了。为简单起见，我们可以只考虑平稳方程。

我必须如何修改代码才能使用该压差数据？我的代码（和数值分析）只接受 Dirichlet 和 Neumann 边界条件。

2个回答

在 Navier-Stokes 方程中，您不能规定边界（或部分边界）上的压力。这不是物理上的事情，在数学上也不是正确的。您唯一可以规定的是牵引力，即应力的法向分量，由下式给出

t = (- ν \nabla u + p I) n .

$\mathbf t = (-\nu \nabla \mathbf u + pI) \mathbf n.$ 例如，您可以规定牵引力应该是

t |_{Γ_{in}} = 20

$\mathbf t|_{\Gamma_\text{in}} = 20$ 以及流出部分的对应值

Γ_{out}

$\Gamma_\text{out}$ .

边界条件很棘手。如果您想了解更多有关它的信息，您可能想观看 21.5 的讲座并在此处关注：https ://www.math.colostate.edu/~bangerth/videos.html

我有一篇关于这个的论文，只要你的边界是平坦的并且你不希望它通过涡流，你应该做得很好：https ://doi.org/10.1002/fld.1427 。

它的要点是，只要边界是平坦的并且您不强制执行切向流，法向牵引力就等于不可压缩流中的压力。对于类泊肃叶流来说，这是一个好的 BC，但不是一般的 BC，因为您必须在边界处强制没有切向流，所以任何东西都可能流出。我没有保存参考，但在过去几年中，该领域的一些发展解决了这个问题。

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