GMRES 方法如何找到矩阵的最小奇异值和相应的奇异向量？

它没有。GMRES 求解线性系统。您的引用可能是指其他Krylov 方法：重新启动 Arnoldi，Golub-Kahan bidiagonalization。

我有点明白你在问什么。的奇异值与矩阵之间存在关系：。所以理论上，你可以使用逆幂法求矩阵个最小特征值和对应的特征向量。要“反转”矩阵（在逆幂法算法期间），您可以使用 GMRES + 一些预处理器。同样，您可以使用 LOBPCG，这是一种 CG 方法，旨在查找广义特征值和特征向量。查看Yousef Saad的书Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems - 2nd Edition以获取更多信息。$A$$A^HA$$\sigma_i^2(A)=\lambda_i(A^HA)$$i$$A^HA$$A^HA$

矩阵的奇异值与 GMRES 之间也存在间接关系。事实证明，矩阵的特征值不能很好地预测 GMRES 的收敛性，它实际上甚至可能具有欺骗性。围绕这个想法有大量的工作。建议的一些替代方案是伪光谱和值域，两者都是更好的预测器。后者是一个包含奇异值的集合，这里是一些关于值域（或数值范围）的阅读：

1. 霍恩，R。约翰逊，CR 矩阵分析；剑桥大学出版社：纽约，纽约，美国，1985
2. Zachlin, PF 关于矩阵逆的值域。博士 论文，凯斯西储大学，美国俄亥俄州克利夫兰，2007 年。

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