计算科学 - 有没有办法做“双重预处理” - 吾爱随笔录

有没有办法做“双重预处理”

计算科学线性代数克雷洛夫法预处理条件数

2021-12-17 00:02:30

问题：

假设您有两个不同的（因式分解的）预条件子用于对称正定矩阵 $A$ ：

A \approx B^{T} B

$A \approx B^TB$ 和

A \approx C^{T} C,

$A \approx C^TC,$ 其中因子的倒数

B, B^{T}, C, C^{T}

$B, B^T, C, C^T$ 很容易申请。

何时可以使用两者的信息 $B$ 和 $C$ 建立一个比任何一个更好的预处理器 $B$ 或者 $C$ 独自的？

2个回答

你可以使用添加剂

P_{a}^{- 1} x = (B^{T} B)^{- 1} x + (C^{T} C)^{- 1} x,

$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$

乘法的

P_{m}^{- 1} x = (B^{T} B)^{- 1} x + (C^{T} C)^{- 1} (x - A (B^{T} B)^{- 1} x),

$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$

或对称乘法。此类方法在 PETSc 中使用 PETSc 中的PCCOMPOSITE可用。例如，

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

用户手册有一个关于“组合预处理器”的部分。

除了 Jed 的出色答案之外，我最近发现的一种方法是在灵活 GMRES (FGMRES) 中每隔一步在预调节器之间切换，例如，在

Tezduyar，TE，等人。“一种新的有限元计算混合预处理方法。” 应用力学与工程中的计算机方法 99.1 (1992): 27-42。http://repository.ias.ac.in/24680/1/320.pdf

其它你可能感兴趣的问题

上一篇为什么越级积分辛和 RK4 不是，如果后者更准确？下一篇函数有理逼近的开源实现